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Ligne 27 : |
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Existe-t-il un entier ''n'' tel que <math>3^n=14348907\,</math> ? |
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Existe-t-il un entier ''n'' tel que <math>3^n=14348907\,</math> ? |
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{{Solution}} |
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{{Solution|contenu=<math>3^n = 14348907</math> |
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⚫ |
En remarquant que <math> 3^n = e^{ (n \times \ln 3 ) } </math>, il vient <math> n \times \ln 3 = \ln 14348907 </math> . |
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<math>3^n = 14348907</math> |
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Soit <math> n = \frac { \ln 14348907 }{ \ln 3 } = 15 </math>}} |
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<math>3^n = e^{ (n \times \ln 3 ) } </math> |
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<math>e^{ (n \times \ln 3 ) } = 14348907 </math> |
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<math> n \times \ln 3 = \ ln 14348907 </math> |
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<math> n = \frac { \ln 14348907 }{ \ln 3 }</math> |
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<math> n = 15 </math> |
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=== Exercice 2 === |
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=== Exercice 2 === |
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant
Fonction exponentielle/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Méthode générale
Début d’un principe
Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant
On prend le pour faire « descendre » l’exposant.
Lorsqu'on manipule des inégalités, il faut prendre garde au changement de sens éventuel de l'inégalité si on est amené à diviser par le logarithme d'un nombre inférieur à 1, qui est un nombre négatif.
Fin du principe
Équations
Exercice 1
Existe-t-il un entier n tel que ?
Solution
En remarquant que , il vient .
Soit
Exercice 2
Résoudre dans l'équation d'inconnue x.
Solution
Soit .
On prend le des deux membres .
Or donc
Donc
Exercice
Résoudre dans l'équation d'inconnue x.
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice
Résoudre dans l'équation d'inconnue x.
Solution
Soit
Pour pouvoir résoudre cette équation, nous allons réécrire la puissance sous sa forme exponentielle :
On prend le logarithme des deux parties de l'équation à résoudre (411111 étant un nombre positif et non-nul) :
On peut donner une valeur approchée de la solution : .
Exercice
On note les pressions atmosphériques, un jour donné, aux altitudes 0, 100, 200, et 1000 mètres.
La pression atmosphérique diminue approximativement de 1% lorsqu’on s’élève de 100 mètres. Ce jour-là
- 1. Calculer en fonction de n, que représente ce nombre.
- 2. Déterminer en fonction de l’altitude x en centaines de mètres, la pression .
- 3. Le baromètre d’un ermite marque 950 hP, à quelle altitude se trouve-t-il ?
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Inéquations
Exercice
Résoudre l'inéquation d'inconnue .
Solution
Soit .
ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :
donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
L'ensemble des solutions de (I₁) est alors
Exercice
Résoudre l'inéquation d'inconnue .
Solution
Soit .
ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :
donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
L'ensemble des solutions de (I₂) est alors
Exercice
Résoudre l'inéquation d'inconnue .
Solution
Soit .
ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :
donc on peut diviser par ce nombre sans changer le sens de l’inégalité. On obtient :
L'ensemble des solutions de (I₃) est alors
Exercice
Résoudre l'inéquation d'inconnue .
Solution
Soit .
ln est croissante, on peut donc prendre le ln de ces deux membres sans changer le sens de l’inégalité :
donc il faut changer le sens de l’inégalité en divisant par ce nombre. On obtient :
L'ensemble des solutions de (I₄) est alors
Exercice
Un capital de 2000€ est placé à intérêts composés à un taux annuel de 10%.
Combien d'années faudra-t-il pour que la somme placée dépasse 13455 € ?
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice
Deux capitaux sont placés simultanément à intérêts composés : le premier de 35000 € à 12 % l’an, le second de 40000 € à 9 % l’an. Calculer le nombre d’années à partir duquel le premier placement dépassera le second.
Solution
Au terme de l'année i, les placements vaudront :
- pour le premier placement
- pour le premier placement
On cherche à déterminer à partir de quelle valeur de i on aura
Soit
On a
Le premier placement dépassera donc le second au bout de 5 ans.
Exercice
Food for thought : Combien de chiffres le nombre possède-t-il ?
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?