Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Obtention de la trajectoire

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Méthode 1 : formules de Binet

En utilisant la seconde loi de Newton, on a dans le cas d'une force attractive :

$m{\vec {a}}=-K\cdot {\frac {1}{r^{2}}}\;{\vec {e_{r}}}$.

En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant 1/r par u, puis enfin en projetant selon e_r, on a :

$-mC^{2}u^{2}\left({d^{2}u \over d\theta ^{2}}+u\right)=-{K \over r^{2}}=-Ku^{2}$, soit encore :

${\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=+{\frac {K}{mC^{2}}}$.

La solution de cette équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique à laquelle on ajoute une solution particulière. On obtient :

$u(\theta )={\frac {K}{mC^{2}}}+A\cos(\theta +\phi )={K+AmC^{2}\cos(\theta +\phi ) \over mC^{2}}$.

En revenant à l'expression de r, on a :

$r(\theta )={mC^{2} \over K+AmC^{2}\cos(\theta +\phi )}$

$r(\theta )={{mC^{2} \over K} \over 1+{AmC^{2} \over K}\cos(\theta +\phi )}$

On note :

$p={mC^{2} \over K}$ et $e={AmC^{2} \over K}$ et on choisit $\phi =0$

Et donc :

$r(\theta )={p \over 1+e\cos \theta }$

C'est l'expression d'une conique en coordonnées polaires dont la nature exacte dépend des conditions initiales.