« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
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* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ. |
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ. |
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* Soit <math>f\in E</math> |
* Soit <math>f\in E</math> |
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<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math> |
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:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_{-1}^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math> |
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_{-1}^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math> |
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:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\ln(2)||f||_\infty</math> |
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\ln(2)||f||_\infty</math> |
Version du 8 janvier 2011 à 16:38
Exercice
Montrer que et calculer |||φ|||.
Solution
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ.
- Soit
- Donc
- Donc
et
On pose pour tout la fonction fn de E définie par :
- qui vaut -1 sur
- qui vaut 1 sur
- affine sur
On montre que
Finalement