Mécanique pour l'enseignement technique industriel/Exercices/Géométrie

Arc de cercle

Freinage d'un convoi ferroviaire

Annale de sujet d'examen

Cet exercice est tombé BTS CPI en 1993.

Le cahier des charges du constructeur impose un freinage du convoi roulant à 80 km/h de 180 m sur une voie horizontale et sèche.

Hypothèse

Lors du freinage, il y a roulement sans glissement des roues sur le rail.

Donnée

• Diamètre de la roue : 800 mm.

Question

Déterminer l'amplitude de rotation d'une roue pendant la phase de freinage, exprimée en nombre de tours et en radians.

Solution

On peut résoudre le problème de deux manières.

1^re manière, avec le périmètre

Le périmètre de la roue fait, en mètres

p = πD = π×0,8 = 2,513 m.

Le nombre de tours est donc

n = L/p = 180/2,513 = 71,6 tr

Un tour représente 2π radians soit

θ = 2π×n = 2π×71,6 = 450 rad.

2^e manière, avec la formule de l'arc

On a, d'après la formule

L = r θ ⇒ θ = L/r = 180/0,4 = 450 rad.

Un tour représente 2π radians soit

n = θ/2π = 450/2π = 71,6 tr.

 

Enrouleur de câble

On désire enrouler un câble de 200 m sur un tambour de diamètre 1 500 mm. Combien faut-il de tour de tambour, en considérant que le diamètre d'enroulement est toujours le même ? Quel angle en radians cela représente-t-il ?

Solution

Comme précédemment, il y a deux manières de résoudre le problème.

1^re manière, avec le périmètre

Le périmètre du tambour fait, en mètres

p = πD = π×1,5 = 4,712 m.

Le nombre de tours est donc

n = L/p = 200/4,712 = 42,4 tr

Un tour représente 2π radians soit

θ = 2π×n = 2π×42,4 = 266,7 rad.

2^e manière, avec la formule de l'arc

On a, d'après la formule

L = r θ ⇒ θ = L/r = 200/0,75 = 266,7 rad.

Un tour représente 2π radians soit

n = θ/2π = 266,7/2π = 42,4 tr.

 

Vérin rotatif

Principe du vérin rotatif ; pour des raisons de simplicité, on ne représente pas toutes les dents mais on utilise un trait mixte (tiret long-tiret court) à la place.

Système pignon-crémaillère

Un vérin rotatif est basé sur un système pignon-crémaillère :

• un piston entraîne le déplacement linéaire d'une crémaillère ;
• la crémaillère entraîne la rotation du pignon.

Le pignon a un diamètre primitif de 25 mm. Quelle doit être l'avance du piston pour que le pignon fasse une rotation de 30° ?

Solution

L'angle en radians vaut

360° ↔ 2π rad

30° ↔ θ

$\theta ={\frac {2\pi }{360}}\times 30=0,52\ \mathrm {rad}$.

La longueur vaut donc

L = r θ = 12,5×0,52 = 6,5 mm.

On peut aussi s'en sortir sans la formule, en appliquant la loi de proportionnalité : le périmètre du cercle primitif vaut

p = 2πr = 2π×12,5 = 78,5 mm

puis

360° ↔ p

30° ↔ L

$\mathrm {L} ={\frac {30}{360}}p={\frac {30}{360}}\times 78,5=6,5\ \mathrm {mm}$.

 

Relations dans le triangle rectangle

Passerelle métallique

passerelle métallique

On veut construire une passerelle ayant la forme d’un parallélépipède rectangle (forme d’une « brique »), à partir d’un cadre rectangulaire de quatre poutres supporté par quatre poteaux, selon le plan indiqué sur la figure ci-contre.

On envisage de mettre des raidisseurs en diagonale des côtés. Il faut calculer la longueur des raidisseurs afin de commander les matériaux.

Déterminer les longueurs OA et BC.

Solution

Le triangle OAB est rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore, on a

$\mathrm {OA} ={\sqrt {\mathrm {OB} ^{2}+\mathrm {BA} ^{2}}}={\sqrt {2\,500^{2}+2\,000^{2}}}=3\,202\ \mathrm {mm}$.

Le triangle ABC est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, on a

$\mathrm {BC} ={\sqrt {\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {AC} ^{2}}}={\sqrt {2\,000^{2}+6\,250^{2}}}=6\,562\ \mathrm {mm}$.

 

Pompe à pistons axiaux

Pièces principales d'une pompe à pistons axiaux

Une pompe à piston axiaux est utilisée pour les circuits hydrauliques, par exemple pour alimenter un vérin. Les pièces principales sont :

1. le plateau cyclique ;
2. les pistons, liés par une rotule avec le plateau cyclique ;
3. le barillet, comprenant des alésages dans lesquels coulissent les pistons (chambres).

• 
  Pièces d'une pompe à pistons axiaux
• 
  Pièces en position

Pistons représentés en position haute et basse ; l'amplitude de déplacement L du piston dans la chambre dépend de l'angle θ que font les axes de rotation et du rayon r

Le moteur entraîne le plateau cyclique et les pistons. Les pistons entraînent le barillet en rotation. Comme l'axe du barillet et du plateau cyclique font un angle, la base des pistons s'éloignent et se rapprochent du barillet. Ce mouvement d'aller-retour des pistons dans les alésages provoquent l'aspiration et le refoulement de l'huile.

L'amplitude L du mouvement dépend :

• de l'angle θ que fait l'axe du plateau cyclique avec l'axe du barillet ;
• de la distance r de l'axe de l'alésage avec l'axe du barillet.

Si la distance r vaut 100 mm et que l'angle θ est de 30°, calculer l'amplitude L ?

Aide

Triangle rectangle permettant la résolution du problème

La difficulté consiste à trouver un triangle rectangle reprenant les éléments de l'énoncé.

Solution

Avec le dessin fourni en aide, on voit que L est le côté opposé à θ, et que son côté adjacent vaut 2r. On a donc :

$\mathrm {TOA} \ :\ \tan \theta ={\frac {\mathrm {oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\mathrm {L} }{2r}}$

donc

L = 2r tan θ = 2×100×tan(30°) = 115,5 mm

 

Foret étagé

Foret étagé

Un outilleur doit affûter un foret étagé ; cet outil sert à faire un trou dont le diamètre varie avec la profondeur. Le bureau d'étude lui a fourni les cotes fonctionnelles, c'est-à-dire les longueurs des parties cylindriques ; mais pour régler sa machine, l'outilleur a besoin des hauteurs des parties coniques, que l'on appelle a et b.

Analyse géométrique du problème

Pour résoudre ce problème, il faut considérer les demi-cônes : sur le plan, on a des triangles rectangles dont on connaît un des angles (la moitié de l'angle au sommet du cône).

Détermination de a

Pour la partie tronconique, on a donc un triangle rectangle ABC rectangle en C, dont la longueur du côté AC est la différence des rayons des cylindres (c'est un transfert de cotes).

$\mathrm {AC} ={\frac {\mathrm {D} _{1}-\mathrm {D} _{2}}{2}}$.

Calculer AC, et en déduire a.

Détermination de b

En suivant la même démarche, déterminer DF, puis b.

Forets étagés

Solution

Pour le tronc de cône, on a

AC = (130 - 75)/2 = 27,5 mm.

Comme on a un angle à 45°, il s'agit d'un triangle rectangle isocèle, donc

a = BC = AC = 27,5 mm.

Pour le cône d'extrémité, on a

DF = 75/2 = 37,5 mm.

On peut appliquer la formule de la tangente :

TOA : $\tan(\theta )={\frac {\mathrm {oppos{\acute {e}}} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\mathrm {DF} }{\mathrm {FE} }}$

donc

$b=\mathrm {FE} ={\frac {\mathrm {DF} }{\tan(\theta )}}={\frac {37,5}{\tan(60^{\mathrm {o} })}}=21,7\ \mathrm {mm}$.

 

Vecteurs

Usinage d'un trou oblong

Trou oblong

Un technicien d’usinage doit écrire un programme pour réaliser un trou oblong d’un point A à un point B (voir figure 1). Il faut pour cela qu’il détermine les vecteurs déplacement de son outil :

• vecteur ${\overrightarrow {\mathrm {OA} }}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$ depuis l’origine pièce O jusqu’au point A ;
• vecteur ${\overrightarrow {\mathrm {AB} }}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ depuis le point A jusqu’au point B.

Le programme sera du type

... initialisation : paramètres de sécurité, appel de l’outil, conditions de coupe...
N60 G0 X x1 Y y1 déplacement au point A
N70 Z0 M8 descente de l’outil
N80 G1 X x2 Y y2 déplacement de A à B
...

Pour déterminer la durée de l’usinage, il faut aussi connaître la longueur $\|{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\|$.

1. Dans le repère (Oxy), déterminer les coordonnées des points O, A et B ;
2. Déterminer les composantes des vecteurs ${\overrightarrow {\mathrm {OA} }}$ et ${\overrightarrow {\mathrm {AB} }}$ ;
3. Déterminer la longueur du vecteur $\|{\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\|$.

Aires et volumes

Pompe à pistons axiaux

Reprenons l'exemple de la pompe à pistons axiaux (voir ci-dessus). Cette pompe a trois pistons de diamètre 20 mm. La cylindrée est la quantité de liquide pouvant être pompée lorsque le système effectue un tour complet.

1. Quel est le volume balayé par un piston pendant un tour ?
2. Quelle est la cylindrée de la pompe.

On exprimera le résultat en cm³.

Solution

1 – Le volume balayé est un cylindre de diamètre 20 mm = 2 cm et de hauteur 115,5 mm = 11,55 cm. On a donc

S = πR² = π×2² = 12,56 cm²

soit

V = Sh = 12,56×11,55 = 145,1 cm³.

2 – Comme on a trois cylindres, la cylindrée vaut 3V soit 435 cm³.