« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions
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'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' |
'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math> |
* <math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math> |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math> |
* <math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math> |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}} |
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On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
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*une partie affine : <math>x\mapsto -x+\frac52</math> |
* une partie affine : <math>x\mapsto -x+\frac52</math> |
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*une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto e^{-x}</math> |
* une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto e^{-x}</math> |
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Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
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'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' |
'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math> |
* <math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math> |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math> |
* <math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math> |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}} |
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On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
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*une partie affine : <math>x\mapsto 2x-\frac52</math> |
* une partie affine : <math>x\mapsto 2x-\frac52</math> |
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*une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto 2e^{-x}</math> |
* une partie qui tend vers 0 : <math>x\mapsto 2e^{-x}</math> |
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Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
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'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> |
'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> |
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*Cette fonction se dérive comme un produit. |
* Cette fonction se dérive comme un produit. |
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**On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
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**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math> |
** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math> |
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'''2. <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>''' |
'''2. <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>''' |
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*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée. |
* Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée. |
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**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math> |
** On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math> |
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**On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
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**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math> |
** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math> |
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'''3. <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>''' |
'''3. <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>''' |
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*On va utiliser [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]] |
* On va utiliser [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]] |
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**On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math> |
** On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math> |
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**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math> |
** Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times(-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math> |
** Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3+3x\times(-3))e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math> |
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| contenu = |
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'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}</math> |
'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(5x-2)e^{-x}</math> |
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*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 5x-2</math> et <math>v:x\mapsto e^{-x}</math> |
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 5x-2</math> et <math>v:x\mapsto e^{-x}</math> |
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*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 5</math> et <math>v':x\mapsto -e^{-x}</math> |
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 5</math> et <math>v':x\mapsto -e^{-x}</math> |
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*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}</math> |
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(5-(5x-2))e^{-x}=(-5x+7)e^{-x}</math> |
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'''2.''' <math>f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}</math> |
'''2.''' <math>f_2:x\mapsto\frac{x^2}{e^x}</math> |
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*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
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*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
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*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^2)=(x^2+2x)e^(-x)=x(x+2)(e^-x)</math> |
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x)^2)=(x^2+2x)e^(-x)=x(x+2)(e^-x)</math> |
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'''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}</math> |
'''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-4x}</math> |
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*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-4x}</math> |
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-4x}</math> |
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*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -4e^{-4x}</math> |
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -4e^{-4x}</math> |
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*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}</math> |
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_3'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3-4\cdot 3x)e^{-4x}=3(-4x+1)e^{-4x}</math> |
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'''4.''' <math>f_4:x\mapsto e^{2x+3}</math> |
'''4.''' <math>f_4:x\mapsto e^{2x+3}</math> |
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*On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>u:x\mapsto 2x+3</math> |
* On pose sur <math>\R</math> la fonction <math>u:x\mapsto 2x+3</math> |
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*Sa dérivée est définie par <math>u':x\mapsto 2</math> |
* Sa dérivée est définie par <math>u':x\mapsto 2</math> |
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*Comme <math>f_4=e^u\,</math>, on a pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}</math> |
* Comme <math>f_4=e^u\,</math>, on a pour tout <math>x\in\R, f_4'(x)=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x+3}</math> |
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'''5.''' <math>f_5:x\mapsto 3e^{-4x}</math> |
'''5.''' <math>f_5:x\mapsto 3e^{-4x}</math> |
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*Pour tout <math>x\in\R, f_5'(x)=-12e^{-4x}</math> |
* Pour tout <math>x\in\R, f_5'(x)=-12e^{-4x}</math> |
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'''6.''' <math>f_6:x\mapsto xe^{2x-1}</math> |
'''6.''' <math>f_6:x\mapsto xe^{2x-1}</math> |
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*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x</math> et <math>v:x\mapsto e^{2x-1}</math> |
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x</math> et <math>v:x\mapsto e^{2x-1}</math> |
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*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 1</math> et <math>v':x\mapsto 2e^{2x-1}</math> |
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 1</math> et <math>v':x\mapsto 2e^{2x-1}</math> |
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*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_6'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}</math> |
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_6'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x+1)e^{2x-1}</math> |
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'''7.''' <math>f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}</math> |
'''7.''' <math>f_7:x\mapsto 3x e^{\frac{x}{2}}</math> |
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*On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{\frac{x}{2}}</math> |
* On pose sur <math>\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{\frac{x}{2}}</math> |
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*Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto \frac12e^{\frac{x}{2}}</math> |
* Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto \frac12e^{\frac{x}{2}}</math> |
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*Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_7'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(\frac32x+3\right)e^{\frac{x}{2}}</math>}} |
* Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_7'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(\frac32x+3\right)e^{\frac{x}{2}}</math>}} |
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== Exercice 5 == |
== Exercice 5 == |
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[[Fichier:WV-ExoMaths00005.svg|400px]] |
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*<math>\color{red}\lambda=\frac12</math> |
* <math>\color{red}\lambda=\frac12</math> |
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*<math>\color{green}\lambda=3</math> |
* <math>\color{green}\lambda=3</math> |
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*Comme <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-\lambda x}=0</math> et <math>\lim_{x\to+\infty}e^{\lambda x}=+\infty</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}f_\lambda =+\infty</math> |
* Comme <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-\lambda x}=0</math> et <math>\lim_{x\to+\infty}e^{\lambda x}=+\infty</math>, on a <math>\lim_{x\to+\infty}f_\lambda =+\infty</math> |
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*Comme <math>\lim_{x\to-\infty}e^{-\lambda x}=+\infty</math> et <math>\lim_{x\to-\infty}e^{\lambda x}=0</math>, on a <math>\lim_{x\to-\infty}f_\lambda =+\infty</math>}} |
* Comme <math>\lim_{x\to-\infty}e^{-\lambda x}=+\infty</math> et <math>\lim_{x\to-\infty}e^{\lambda x}=0</math>, on a <math>\lim_{x\to-\infty}f_\lambda =+\infty</math>}} |
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Version du 2 janvier 2011 à 16:54
Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).
Exercice 1
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
Donc a pour asymptote la droite d'équation
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 2
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est croissante.
2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
Donc a pour asymptote la droite d'équation
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 3
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur .
1.
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Exercice 4
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
4.
- On pose sur la fonction
- Sa dérivée est définie par
- Comme , on a pour tout
5.
- Pour tout
6.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
7.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Exercice 5
Pour tout réel λ > 0, on note ƒλ la fonction définie sur par :
- pour tout
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout .
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en .
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout .
- Soit
Donc ƒλ est paire.
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en .
- ƒλ est dérivable et, pour tout :
On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒλ', donc les variations de ƒλ.
- Comme et , on a
- Comme et , on a