Ensemble (mathématiques)/Opérations

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Intersection

Définition

On appelle intersection de deux ensembles quelconques E et F, l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à E et F. Cet ensemble se note $E\cap F$ et se lit « E inter F ».

Si on écrit la définition sous forme purement mathématique, on a $E\cap F=\{x/(x\in E)\land (x\in F)\}$.

Début de l'exemple

Exemple

• A = { 2 ; 3 ; 5 ; 9 }
• B = { 0 ; 2 ; 3 }

L'intersection de A et B est l'ensemble $A\cap B=\{2;3\}$.

Fin de l'exemple

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques. E et F sont dits disjoints, lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire $E\cap F=\emptyset$

Remarque

Il ne faut surtout pas confondre distincts avec disjoints. Deux ensembles disjoints n'ont pas d'élément en commun, alors que deux ensembles distincts peuvent en avoir. Pour que deux ensembles soient distincts il faut et il suffit qu'il existe un élément appartenant à l'un mais pas à l'autre.

Réunion

Définition

On appelle réunion de deux ensembles E et F l'ensemble des éléments qui appartiennent à E ou à F (éventuellement les deux). Cet ensemble se note $E\cup F$ et se lit « E union F ».

Sous forme purement mathématique, cette définition s'écrit $E\cup F=\{x/(x\in E)\lor (x\in F)\}$.

Début de l'exemple

Exemple

• A = { 2 ; 3 ; 5 ; 7 }
• B = { 0 ; 2 ; 3 }

La réunion de A et B est l'ensemble $A\cup B=\{0;2;3;5;7\}$.

Fin de l'exemple

Différence

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques. Nous appelons différence de E et F, l'ensemble des éléments qui appartiennent à E mais pas à F. Cet ensemble se note $E\backslash F$ et se lit « E privé de F ».

La définition de la différence s'écrit sous forme mathématique $E\backslash F=\{x/(x\in E)\land (x\notin F)\}$.

On trouve parfois également la notation $E\backslash F=E-F$

Différence symétrique

Définition

Soient E et F deux ensembles quelconques. On appelle différence symétrique de E et F, l'ensemble des éléments qui appartiennent à E ou à F mais pas aux deux à la fois. Cet ensemble se note $E\Delta F$ et se lit « E delta F ».

Sous forme mathématique pure, la définition devient

${\begin{aligned}E\Delta F&=\{x/\left((x\in E)\land (x\notin F)\right)\lor \left((x\in F)\land (x\notin E)\right)\}\\&=(E\cup F)\backslash (E\cap F)\end{aligned}}$.

Complémentaire

Définition

Soient U un ensemble quelconque et A une partie quelconque de U. On appelle complémentaire de A par rapport à U (ou de A dans U) ou encore différence de U et de A, l'ensemble des éléments qui appartiennent à U mais pas à A.

Cet ensemble se note $\complement _{U}A$ ou $U\backslash A$ ou ${\overline {A}}$.