« Fonctions d'une variable complexe/Théorèmes de Liouville et de Weierstrass » : différence entre les versions
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Si <math> f</math> est holomorphe dans <math>\mathbb{C}</math> et si il existe <math>N \in \mathbb{N}</math> et <math>C>0</math> tels que: <math>|f(z)|\leq C(1+|z|)^{N} \; \; \forall z \in \mathbb{C}</math> </br> |
Si <math> f</math> est holomorphe dans <math>\mathbb{C}</math> et si il existe <math>N \in \mathbb{N}</math> et <math>C>0</math> tels que: <math>|f(z)|\leq C(1+|z|)^{N} \; \; \forall z \in \mathbb{C}</math> </br> |
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alors <math>f</math> est un polynôme de degré inférieur ou égal à <math>N</math> |
alors <math>f</math> est un polynôme de degré inférieur ou égal à <math>N</math> |
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==Principe du (module) maximum== |
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Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de <math>\mathbb{C}</math> dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante. </br> |
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Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la forntière de l'adhérence de cet ouvert connexe. |
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{{Théorème |
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|titre=Principe du maximum |
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|contenu= |
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-Si <math>f</math> est holomorphe dans l'ouvert <math>\Omega \subset \mathbb{C}</math> connexe et si il existe <math>z_{0} \in \Omega</math> tel que <math>|f(z_{0})|\geq |f(z)| \; \; \forall z</math> dans un voisinage de <math>z_{0}</math> (<math>|f|</math> admet un maximum local dans <math>\Omega</math>) alors <math>f</math> est constante dans <math>\Omega</math>.</br> |
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-Si l'ouvert <math>\Omega </math> est borné et <math>f</math> dans <math>\Omega</math> et continue dans <math>\bar{\Omega}</math> (<math>\bar{\Omega}</math> désignant l'adhérence de <math>\Omega</math>) alors <math>sup_{\bar{\Omega}}|f|=sup_{\partial \Omega} |f|</math> |
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Version du 6 septembre 2010 à 19:03
Théorème de Liouville
Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur (appelées aussi fonctions entières) qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité.
Théorème de Liouville
Si est holomorphe dans et si il existe et tels que:
alors est un polynôme de degré inférieur ou égal à
Principe du (module) maximum
Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.
Il indique aussi que le module d'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe réalise sa borne supérieure sur la forntière de l'adhérence de cet ouvert connexe.