« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math>
{{Solution|contenu=
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
}}
}}


*<math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math>
{{Solution|contenu=
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*Pour tout <math>x\in\R,~e^x-x=e^x\left(1-\frac x{e^x}\right)</math>
* Pour tout <math>x\in\R,~e^x-x=e^x\left(1-\frac x{e^x}\right)</math>
*Or, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
* Or, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
*De plus, <math>\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty</math>
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*<math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}</math>.
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*Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-\frac x3</math>
* Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-\frac x3</math>
*On a alors pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=-3Xe^X</math>.
* On a alors pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=-3Xe^X</math>.
*On sait que <math>\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0</math>
* On sait que <math>\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=0</math>
*De plus, <math>\lim_{t\to0}t^3=0</math>
* De plus, <math>\lim_{t\to0}t^3=0</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math>
}}
}}


*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math>
{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2\,</math>.
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*Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math>
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math>
*On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
* On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0</math>.
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x</math>
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*Pour tout <math>x\in\R,~\frac{\sqrt{e^x}}x=\sqrt{\frac{e^x}{x^2}}</math>
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*On a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty</math>
* On a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty</math>
*De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
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*<math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math>
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math>
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x\,</math>.
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*Soit <math>x\in\R</math>.
* Soit <math>x\in\R</math>.
*On a
* On a
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\
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&=\frac{X^2\left(\frac1{X^2}+1\right)}{e^X}
&=\frac{X^2\left(\frac1{X^2}+1\right)}{e^X}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
*On sait que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2}{e^X}=0</math>
* On sait que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2}{e^X}=0</math>
*et que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac1{X^2}+1=1</math>
* et que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac1{X^2}+1=1</math>
*Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math>
}}
}}


*<math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math>
{{Solution|contenu=
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*Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt{e^{-x}}x=\frac x{\sqrt{e^x}}</math>
* Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt{e^{-x}}x=\frac x{\sqrt{e^x}}</math>
*On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
* On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math>
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{{Prérequis|idfaculté=mathématiques|sujet=la fonction logarithme|cours=Fonction logarithme}}
{{Prérequis|idfaculté=mathématiques|sujet=la fonction logarithme|cours=Fonction logarithme}}


*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>
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:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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&=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\
&=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\
\end{align}</math>
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)=0</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)=0</math>
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)=+\infty</math>
*De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}=+\infty</math>
}}
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>
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{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> :
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Ligne 155 : Ligne 155 :
&=x-\frac12\ln(x)\\
&=x-\frac12\ln(x)\\
\end{align}</math>
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*<math>\lim_{x\to+\infty}x-\frac12\ln(x)=+\infty</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}x-\frac12\ln(x)=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)=+\infty</math>
*De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
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Version du 30 novembre 2009 à 22:04

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Croissances comparées
Icône de la faculté
Chapitre no {{{numéro}}}
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. :Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :Dérivée de exp(u)
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées
Fonction exponentielle/Croissances comparées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comparaison entre ex et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Comparaison entre ex et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée

Début d’un théorème
Fin du théorème

Preuve:

En posant , on a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}= - \lim\limits_{t\to -\infty} \dfrac{t}{e^{t}}=- \lim\limits_{t\to -\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^t}{t}}=0}

Application

Déterminer les limites suivantes :


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Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


Extension aux puissances de x

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début d’un théorème
Fin du théorème



En résumé

Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».