« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
m Robot : Changement de type cosmétique |
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Déterminer les limites suivantes : |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math> |
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{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math> |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math> |
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{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
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*Pour tout <math>x\in\R,~e^x-x=e^x\left(1-\frac x{e^x}\right)</math> |
* Pour tout <math>x\in\R,~e^x-x=e^x\left(1-\frac x{e^x}\right)</math> |
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*Or, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math> |
* Or, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math> |
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*De plus, <math>\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty</math> |
* De plus, <math>\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty</math> |
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}} |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math> |
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{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}</math>. |
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}</math>. |
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*Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-\frac x3</math> |
* Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-\frac x3</math> |
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*On a alors pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=-3Xe^X</math>. |
* On a alors pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=-3Xe^X</math>. |
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*On sait que <math>\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0</math> |
* On sait que <math>\lim_{X\to-\infty}Xe^X=0</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=0</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=0</math> |
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*De plus, <math>\lim_{t\to0}t^3=0</math> |
* De plus, <math>\lim_{t\to0}t^3=0</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math> |
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}} |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math> |
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{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2\,</math>. |
{{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2\,</math>. |
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*Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math> |
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac x{e^{(x^2)}}=\frac{\sqrt X}{e^X}</math> |
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*On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math> |
* On sait que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0</math>. |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0</math>. |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x</math> |
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{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
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*Pour tout <math>x\in\R,~\frac{\sqrt{e^x}}x=\sqrt{\frac{e^x}{x^2}}</math> |
* Pour tout <math>x\in\R,~\frac{\sqrt{e^x}}x=\sqrt{\frac{e^x}{x^2}}</math> |
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*On a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty</math> |
* On a <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}=+\infty</math> |
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*De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty</math> |
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}\sqrt X=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math> |
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}} |
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*<math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math> |
* <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math> |
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{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x\,</math>. |
{{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x\,</math>. |
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*Soit <math>x\in\R</math>. |
* Soit <math>x\in\R</math>. |
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*On a |
* On a |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\ |
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\ |
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Ligne 120 : | Ligne 120 : | ||
&=\frac{X^2\left(\frac1{X^2}+1\right)}{e^X} |
&=\frac{X^2\left(\frac1{X^2}+1\right)}{e^X} |
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\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
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*On sait que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2}{e^X}=0</math> |
* On sait que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2}{e^X}=0</math> |
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*et que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac1{X^2}+1=1</math> |
* et que <math>\lim_{X\to+\infty}\frac1{X^2}+1=1</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math> |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math> |
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{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
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*Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt{e^{-x}}x=\frac x{\sqrt{e^x}}</math> |
* Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt{e^{-x}}x=\frac x{\sqrt{e^x}}</math> |
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*On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math> |
* On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math> |
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}} |
}} |
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{{Prérequis|idfaculté=mathématiques|sujet=la fonction logarithme|cours=Fonction logarithme}} |
{{Prérequis|idfaculté=mathématiques|sujet=la fonction logarithme|cours=Fonction logarithme}} |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math> |
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{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> : |
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> : |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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Ligne 142 : | Ligne 142 : | ||
&=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\ |
&=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\ |
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\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)=0</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)=0</math> |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}x-2\ln(x)=+\infty</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}x-2\ln(x)=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)=+\infty</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)=+\infty</math> |
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*De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math> |
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}=+\infty</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}=+\infty</math> |
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}} |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math> |
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{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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Ligne 155 : | Ligne 155 : | ||
&=x-\frac12\ln(x)\\ |
&=x-\frac12\ln(x)\\ |
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\end{align}</math> |
\end{align}</math> |
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*<math>\lim_{x\to+\infty}x-\frac12\ln(x)=+\infty</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}x-\frac12\ln(x)=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)=+\infty</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)=+\infty</math> |
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*De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math> |
* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math> |
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*Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math> |
* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math> |
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Version du 30 novembre 2009 à 22:04
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée .
On étudie sur la fonction .
On a :
et
Sur ,comme donc , donc est croissante sur .
Or donc sur , donc est croissante sur .
Or donc sur
On en déduit avec l'expression de , que sur :
donc:
donc :
- .
Or donc par comparaison,
Comparaison entre ex et x en - ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).
Pour formaliser, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée
Preuve:
En posant , on a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}= - \lim\limits_{t\to -\infty} \dfrac{t}{e^{t}}=- \lim\limits_{t\to -\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^t}{t}}=0}
Application
Déterminer les limites suivantes :
- Donc
- Pour tout
- Or,
- De plus,
- Donc
Pour tout .
- Pour tout , on pose
- On a alors pour tout .
- On sait que
- Donc
- De plus,
- Donc
On pose .
- Pour tout
- On sait que
- Donc .
- Pour tout
- On a
- De plus,
- Donc
Pour tout , on pose .
- Soit .
- On a
- On sait que
- et que
- Donc
- Pour tout
- On a montré plus haut que
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Extension aux puissances de x
En résumé
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».