« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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<center><math>\lim_{x\to-\infty}xe^x</math></center>
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qui est une forme indéterminée <math>-\infty \times 0^+</nowiki></math>
qui est une forme indéterminée <math>-\infty \times 0^+ </math>


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Version du 25 octobre 2009 à 19:02

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Croissances comparées
Icône de la faculté
Chapitre no {{{numéro}}}
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. :Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :Dérivée de exp(u)
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Fonction exponentielle/Croissances comparées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comparaison entre ex et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Comparaison entre ex et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée

Début d’un théorème
Fin du théorème

Preuve:

En posant , on a

Application

Déterminer les limites suivantes :


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Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


Extension aux puissances de x

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début d’un théorème
Fin du théorème



En résumé

Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».