Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières

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Fonctions analytiques

Fonction analytique en un point

Soit une fonction $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$, f est dite analytique en un point $z_{0}\in \mathbb {C}$ si f admet un développement en série entière(appelée aussi série de puissances) autour de ce point: $f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}(z-z_{0})^{m}$

Fonction analytique

Une fonction $f:\Omega \subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ est dite analytique sur son domaine $\Omega$, si elle est analytique en tous les points de son domaine

Théorème de Taylor

Nous allons généraliser la formule de Taylor, aux fonctions de variable complexe.

Début d’un théorème

Théorème de Taylor

Soit une fonction f holomorphe dans l'ouvert $\Omega \subset \mathbb {C}$ et si $z_{0}\in \mathbb {C}$, alors on a

$f(z)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {D^{m}f(z_{0})}{m!}}(z-z_{0})^{m}$

Fin du théorème