« Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle » : différence entre les versions
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|leçon=[[Fonction exponentielle]]|niveau=12|chapitre=[[Fonction exponentielle]]|numero=4}} |
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==Exercice 1== |
== Exercice 1 == |
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ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par : |
ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par : |
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:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = -x+\frac{5}{2}-e^{-x}</math>. |
:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = -x+\frac{5}{2}-e^{-x}</math>. |
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'''1.''' Étudier les variations de ƒ. |
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'''2.''' Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>. |
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'''3.''' Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math> dont on donnera une équation. |
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'''4.''' Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>. |
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'''5.''' Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2. |
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'''1. Étudier les variations de ƒ.''' |
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:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
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:<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math> |
:<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math> |
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{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est décroissante.}} |
{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est décroissante.}} |
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'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math> |
*<math>\lim_{x\to +\infty}-x+\frac52=-\infty</math> |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math> |
*<math>\lim_{x\to +\infty}e^{-x}=0</math> |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty</math>}} |
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'''3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>''' |
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On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}} |
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'''4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.''' |
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:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}</math>, grandeur négative. |
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=-e^{-x}</math>, grandeur négative. |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est en-dessous de son asymptote <math>\mathcal D</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est en-dessous de son asymptote <math>\mathcal D</math>}} |
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'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' |
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:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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==Exercice 2== |
== Exercice 2 == |
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ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par : |
ƒ est la fonction définie sur <math>[0;+\infty[</math> par : |
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:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}</math>. |
:pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~f(x) = 2x-\frac{5}{2}+2e^{-x}</math>. |
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'''1.''' Étudier les variations de ƒ. |
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'''2.''' Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>. |
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'''3.''' Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math> dont on donnera une équation. |
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'''4.''' Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>. |
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'''5.''' Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2. |
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{{Preuve|titre=Solution|contenu= |
{{Preuve|titre=Solution|contenu= |
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'''1. Étudier les variations de ƒ.''' |
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:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
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:<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math> |
:<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math> |
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{{cadre simple|contenu=On en déduit que ƒ est croissante.}} |
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'''2. Étudier la limite de ƒ en <math>+\infty</math>.''' |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math> |
*<math>\lim_{x\to +\infty}2x-\frac52=+\infty</math> |
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*<math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math> |
*<math>\lim_{x\to +\infty}2e^{-x}=0</math> |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty</math>}} |
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'''3. Démontrer que la courbe représentative <math>\mathcal C</math> de ƒ admet une asymptote oblique <math>\mathcal D</math>''' |
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On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres : |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}} |
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'''4. Étudier les positions relatives de <math>\mathcal C</math> et <math>\mathcal D</math>.''' |
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:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}</math>, grandeur positive. |
:Pour tout <math>x\in[0;+\infty[,f(x)-g(x)=2e^{-x}</math>, grandeur positive. |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est au-dessus de son asymptote <math>\mathcal D</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> est au-dessus de son asymptote <math>\mathcal D</math>}} |
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'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' |
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:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
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:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
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==Exercice 3== |
== Exercice 3 == |
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Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. |
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. |
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'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> |
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'''2.''' <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math> |
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'''3.''' <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math> |
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{{Preuve|titre=Solution|contenu= |
{{Preuve|titre=Solution|contenu= |
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Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>. |
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>. |
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'''1.''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> |
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*Cette fonction se dérive comme un produit. |
*Cette fonction se dérive comme un produit. |
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**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math> |
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math> |
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'''2. <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>''' |
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*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée. |
*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée. |
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**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math> |
**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math> |
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math> |
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'''3. <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>''' |
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:Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ<sub>3</sub>. Nous en présenterons deux. |
:Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ<sub>3</sub>. Nous en présenterons deux. |
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==Exercice 4== |
== Exercice 4 == |
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Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. |
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. |
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'''1.''' <math>f(x)=(5x-2)e^{-x}\,</math> |
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'''2.''' <math>f(x) = \frac{x^2}{e^x}\,</math> |
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'''3.''' <math>f(x) = 3xe^{-4x}\,</math> |
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Dans les exemples suivants, le calcul repose sur [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]]. |
Dans les exemples suivants, le calcul repose sur [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]]. |
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'''4.''' <math>f(x) = e^{2x+3}\,</math> |
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'''5.''' <math>f(x) = 3e^{-4x}\,</math> |
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'''6.''' <math>f(x) = xe^{2x-1}\,</math> |
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'''7.''' <math>f(x)= 3x e^{\frac{x}{2}}\,</math> |
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{{Solution}} |
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⚫ | |||
⚫ | |||
Pour tout réel <math>\lambda >0</math>, on note <math>f_{\lambda}</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par : |
Pour tout réel <math>\lambda >0</math>, on note <math>f_{\lambda}</math> la fonction définie sur <math>\R</math> par : |
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</math> |
</math> |
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1 |
'''1.''' Tracer sur calculatrice la courbe représentative de <math>f_{\lambda}</math> pour <math>\lambda =0,5</math> et pour <math>\lambda=3</math>. |
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2 |
'''2.''' Démontrer que <math>f_{\lambda}</math> est paire, c'est-à-dire pour tout ''x'' : |
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<math>f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)\,</math>. |
<math>f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)\,</math>. |
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3 |
'''3.''' Étudier les variations de <math>f_{\lambda}</math> et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>. |
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{{Solution}} |
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[[Catégorie:Fonction exponentielle]] |
[[Catégorie:Fonction exponentielle]] |
Version du 27 septembre 2008 à 11:39
Exercice 1
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
Donc a pour asymptote la droite d'équation
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 2
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est croissante.
2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
Donc a pour asymptote la droite d'équation
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 3
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur .
1.
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose pour tout les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout
- On pose pour tout les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ3. Nous en présenterons deux.
- Méthode 1 : Elle utilise les propriétés algébriques de l'exponentielle
- On pose pour tout les fonctions et
- On remarque que pour tout
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
- Méthode 2 : Elle repose sur ce théorème de niveau 11
- On pose pour tout les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Exercice 4
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
Dans les exemples suivants, le calcul repose sur ce théorème de niveau 11.
4.
5.
6.
7.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 5
Pour tout réel , on note la fonction définie sur par :
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de pour et pour .
2. Démontrer que est paire, c'est-à-dire pour tout x :
.
3. Étudier les variations de et déterminer sa limite en .
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?