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Solution exo 3
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==Exercice 3==
==Exercice 3==


Calculer la fonction dérivée des fonctions ''f'' suivantes.
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.


a) <math>f(x)=(3x-2)e^{x}\,</math>
a) <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math>


b) <math>f(x) = \frac{x^2}{e^{-x}}\,</math>
b) <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>


c) <math>f(x) = 3xe^{-3x}\,</math>
c) <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>




{{Preuve|titre=Solution|contenu=
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>.
'''a)''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math>
*Cette fonction se dérive comme un produit.
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math>

'''b) <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>'''
*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math>
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math>

'''c) <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>'''
:Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ<sub>3</sub>. Nous en présenterons deux.

*'''Méthode 1''' : Elle utilise les propriétés algébriques de l'exponentielle
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math>
**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~v(x)=e^{-3x}=(e^x)^{-3}</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3\exp'(x)\times (e^x)^{-4}=-3e^xe^{-4x}=-3e^{-3x}</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math>


*'''Méthode 2''' : Elle repose sur [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]]
**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math>
**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math>
**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math>


}}
==Exercice 4==
==Exercice 4==


Calculer la fonction dérivée des fonctions ''f'' suivantes.
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.


a) <math>f(x)=(5x-2)e^{-x}\,</math>
a) <math>f(x)=(5x-2)e^{-x}\,</math>

Version du 26 septembre 2008 à 18:16

Étude de la fonction exponentielle
Image logo représentative de la faculté
Exercices no{{{numéro}}}
Leçon : Fonction exponentielle
Chapitre du cours : Fonction exponentielle

Exercices de niveau 12.


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Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle
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Exercice 1

ƒ est la fonction définie sur par :

pour tout .

a) Étudier les variations de ƒ.

b) Étudier la limite de ƒ en .

c) Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.

d) Étudier les positions relatives de et .

e) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.


Exercice 2

ƒ est la fonction définie sur par :

pour tout .

a) Étudier les variations de ƒ.

b) Étudier la limite de ƒ en .

c) Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.

d) Étudier les positions relatives de et .

e) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.


Exercice 3

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

a)

b)

c)


Exercice 4

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.

a)

b)

c)

Dans les exemples suivants, le calcul repose sur ce théorème de niveau 11.

d)

e)

f)

g)

Exercice 5

Pour tout réel , on note la fonction définie sur par :

1° Tracer sur calculatrice la courbe représentative de pour et pour .

2° Démontrer que est paire, c'est-à-dire pour tout x :

.

3° Étudier les variations de et déterminer sa limite en .