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Ligne 125 : |
Ligne 125 : |
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==Exercice 3== |
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==Exercice 3== |
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Calculer la fonction dérivée des fonctions ''f'' suivantes. |
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Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. |
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a) <math>f(x)=(3x-2)e^{x}\,</math> |
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a) <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> |
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b) <math>f(x) = \frac{x^2}{e^{-x}}\,</math> |
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b) <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math> |
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c) <math>f(x) = 3xe^{-3x}\,</math> |
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c) <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math> |
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{{Preuve|titre=Solution|contenu= |
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Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur <math>\R</math>. |
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'''a)''' <math>f_1:x\mapsto(3x-2)e^x</math> |
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*Cette fonction se dérive comme un produit. |
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**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto(3x-2)</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
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**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(3x+1)e^x</math> |
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'''b) <math>f_2:x\mapsto \frac{x^2}{e^{-x}}</math>''' |
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*Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée. |
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**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~f_2(x)=\frac{x^2}{e^{-x}}=x^2 e^x</math> |
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**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto x^2</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math> |
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**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 2x</math> et <math>v':x\mapsto e^x</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(x^2+2x)e^x=x(x+2)e^x</math> |
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'''c) <math>f_3:x\mapsto 3xe^{-3x}</math>''' |
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:Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ<sub>3</sub>. Nous en présenterons deux. |
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*'''Méthode 1''' : Elle utilise les propriétés algébriques de l'exponentielle |
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**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math> |
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**On remarque que pour tout <math>x\in\R,~v(x)=e^{-3x}=(e^x)^{-3}</math> |
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**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3\exp'(x)\times (e^x)^{-4}=-3e^xe^{-4x}=-3e^{-3x}</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math> |
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*'''Méthode 2''' : Elle repose sur [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction affine suivie d'une autre fonction|ce théorème de niveau 11]] |
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**On pose pour tout <math>x\in\R</math> les fonctions <math>u:x\mapsto 3x</math> et <math>v:x\mapsto e^{-3x}</math> |
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**Leurs dérivées sont définies par <math>u':x\mapsto 3</math> et <math>v':x\mapsto -3e^{-3x}</math> |
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**Finalement, pour tout <math>x\in\R, f_2'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=((-3)\cdot3x-3)e^{-3x}=3(-3x+1)e^{-3x}</math> |
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==Exercice 4== |
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==Exercice 4== |
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Calculer la fonction dérivée des fonctions ''f'' suivantes. |
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Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes. |
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a) <math>f(x)=(5x-2)e^{-x}\,</math> |
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a) <math>f(x)=(5x-2)e^{-x}\,</math> |
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Étude de la fonction exponentielle
Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
a) Étudier les variations de ƒ.
b) Étudier la limite de ƒ en .
c) Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
d) Étudier les positions relatives de et .
e) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
'Solution'
a) Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
b) Étudier la limite de ƒ en .
Donc
c) Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
d) Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
e) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 2
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
a) Étudier les variations de ƒ.
b) Étudier la limite de ƒ en .
c) Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
d) Étudier les positions relatives de et .
e) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
'Solution'
a) Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est croissante.
b) Étudier la limite de ƒ en .
Donc
c) Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
d) Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
e) Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 3
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
a)
b)
c)
'Solution'
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur .
a)
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose pour tout les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
b)
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout
- On pose pour tout les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
c)
- Là encore, il y a de multiples façons de calculer la dérivée de ƒ3. Nous en présenterons deux.
- Méthode 1 : Elle utilise les propriétés algébriques de l'exponentielle
- On pose pour tout les fonctions et
- On remarque que pour tout
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
- Méthode 2 : Elle repose sur ce théorème de niveau 11
- On pose pour tout les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Exercice 4
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
a)
b)
c)
Dans les exemples suivants, le calcul repose sur ce théorème de niveau 11.
d)
e)
f)
g)
Exercice 5
Pour tout réel , on note la fonction définie sur par :
1° Tracer sur calculatrice la courbe représentative de pour et pour .
2° Démontrer que est paire, c'est-à-dire pour tout x :
.
3° Étudier les variations de et déterminer sa limite en .