Fonction exponentielle/Exercices/Étude de la fonction exponentielle

Exercice 1

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=-x+{\frac {5}{2}}-e^{-x}$.

a) Étudier les variations de ƒ.

b) Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

c) Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.

d) Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

e) Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

'Solution'

a) Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

$f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1$

Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\leq 0$

On en déduit que ƒ est décroissante.

b) Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

• $\lim _{x\to +\infty }-x+{\frac {5}{2}}=-\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=-\infty$

c) Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : $x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$
• une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto -x+{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$

Donc ${\mathcal {C}}$ a pour asymptote la droite ${\mathcal {D}}$ d'équation $y=-x+{\frac {5}{2}}$

d) Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=-e^{-x}$, grandeur négative.

Donc ${\mathcal {C}}$ est en-dessous de son asymptote ${\mathcal {D}}$

e) Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=-2+{\frac {5}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot (x-2)\\&={\frac {1}{2}}-e^{-2}-x+2+e^{-2}x-2e^{-2}\\&=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}\\\end{aligned}}$

Donc la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=(e^{-2}-1)x-3e^{-2}+{\frac {5}{2}}$

 

Exercice 2

ƒ est la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par :

pour tout $x\in [0;+\infty [,~f(x)=2x-{\frac {5}{2}}+2e^{-x}$.

a) Étudier les variations de ƒ.

b) Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

c) Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$ dont on donnera une équation.

d) Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

e) Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

'Solution'

a) Étudier les variations de ƒ.

ƒ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et, pour tout $x\in [0;+\infty [$ :

$f'(x)=2+2\times (-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})$

Or, pour tout $x\in [0;+\infty [,~e^{-x}\leq 1$ donc $f'(x)\geq 0$

On en déduit que ƒ est croissante.

b) Étudier la limite de ƒ en $+\infty$.

• $\lim _{x\to +\infty }2x-{\frac {5}{2}}=+\infty$
• $\lim _{x\to +\infty }2e^{-x}=0$

Donc $\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty$

c) Démontrer que la courbe représentative ${\mathcal {C}}$ de ƒ admet une asymptote oblique ${\mathcal {D}}$

On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :

• une partie affine : $x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$
• une partie qui tend vers 0 : $x\mapsto 2e^{-x}$

Si on pose $g:x\mapsto 2x-{\frac {5}{2}}$, définie sur $\mathbb {R}$ et de représentation graphique ${\mathcal {D}}$, on a :

$\lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0$

Donc ${\mathcal {C}}$ a pour asymptote la droite ${\mathcal {D}}$ d'équation $y=2x-{\frac {5}{2}}$

d) Étudier les positions relatives de ${\mathcal {C}}$ et ${\mathcal {D}}$.

Pour tout $x\in [0;+\infty [,f(x)-g(x)=2e^{-x}$, grandeur positive.

Donc ${\mathcal {C}}$ est au-dessus de son asymptote ${\mathcal {D}}$

e) Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2.

D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 est :

${\begin{aligned}y&=f(2)+f'(2)\cdot (x-2)\\&=2\times 2-{\frac {5}{2}}+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\&={\frac {3}{2}}+2e^{-2}+2((1-e^{-2})x-2(1-e^{-2}))\\&=-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}+2(1-e^{-2})x\\\end{aligned}}$

Donc la tangente à ${\mathcal {C}}$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=2(1-e^{-2})x-{\frac {5}{2}}+6e^{-2}$

 

Exercice 3

Calculer la fonction dérivée des fonctions f suivantes.

a) $f(x)=(3x-2)e^{x}\,$

b) $f(x)={\frac {x^{2}}{e^{-x}}}\,$

c) $f(x)=3xe^{-3x}\,$

Exercice 4

Calculer la fonction dérivée des fonctions f suivantes.

a) $f(x)=(5x-2)e^{-x}\,$

b) $f(x)={\frac {x^{2}}{e^{x}}}\,$

c) $f(x)=3xe^{-4x}\,$

Dans les exemples suivants, le calcul repose sur ce théorème de niveau 11.

d) $f(x)=e^{2x+3}\,$

e) $f(x)=3e^{-4x}\,$

f) $f(x)=xe^{2x-1}\,$

g)$f(x)=3xe^{\frac {x}{2}}\,$

Exercice 5

Pour tout réel $\lambda >0$, on note $f_{\lambda }$ la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f_{\lambda }(x)={\frac {e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}}{2\lambda }}$

1° Tracer sur calculatrice la courbe représentative de $f_{\lambda }$ pour $\lambda =0,5$ et pour $\lambda =3$.

2° Démontrer que $f_{\lambda }$ est paire, c'est-à-dire pour tout x :

$f_{\lambda }(-x)=f_{\lambda }(x)\,$.

3° Étudier les variations de $f_{\lambda }$ et déterminer sa limite en $+\infty$.