Continuité et variations/Langage de la continuité

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Définition de la continuité

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.

• f est continue en a si sa limite en a est égale à sa valeur en a:

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)$

• f est continue sur I si f est continue en tout a appartenant à I.

• Cette situation s'oppose à la suivante : une fonction f est discontinue en un point a si la courbe de f présente une "coupure" en x=a qui oblige à "lever le crayon" pour parcourir la courbe.

Continuité des fonctions usuelles

La dérivabilité est un critère utile de continuité pour les fonctions usuelles.

Début d’un théorème

Théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.

Si f est dérivable en a alors f est continue en a.

Fin du théorème

Remarque:

• La réciproque est fausse : la fonction racine carrée est continue en 0 mais non dérivable en 0.

La fonction partie entière

Définition

La fonction partie entière est définie sur $\mathbb {R}$ en remarquant que pour tout réel x il existe un unique entier n tel que : $n\leq x<n+1$. alors E(x)=n

La fonction partie entière n'est pas continue sur $\mathbb {R}$ car elle présente des discontinuités pour tous les entiers.