#*<math>\forall u,v\in H^1\quad\int_\Omega(uDv+vDu)=-u(0)v(0)</math> (« formule d'intégration par parties »).
#*<math>\forall u,v\in H^1\quad\int_\Omega(uDv+vDu)=-u(0)v(0)</math> (« formule d'intégration par parties »).
#Montrer que par ailleurs, le sous-espace <math>C_c^\infty(\overline\Omega)=\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) est dense dans <math>H^1</math>.
#Montrer que par ailleurs, le sous-espace <math>C_c^\infty(\overline\Omega)=\mathcal D(\R_+)</math> ([[w:Fonction C∞ à support compact|espace des fonctions C{{exp|∞}} à support compact]]) est dense dans <math>H^1</math>.
{{Solution|contenu=
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#*<math>u</math> est continue sur <math>\overline\Omega</math> — puisque <math>Du\in{\rm L}^1_{\mathrm{loc}}</math> — plus précisément : <math>u</math> est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même <math>\tfrac12</math>-[[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|holdérienne]] puisque (par Cauchy-Schwarz) <math>|u(x)-u(y)|\le\|Du\|_2\sqrt{|x-y|}</math>.<br>De plus, <math>\lim_{+\infty}u=0</math> puisque <math>u^2(x)=u^2(0)+\int_0^x2uDu</math> a une limite en <math>+\infty</math> — car <math>uDu\in{\rm L}^1(\Omega)</math> — et que <math>u^2\in{\rm L}^1(\Omega)</math>.<br>Enfin, <math>\forall x\in\overline\Omega\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uDu\le2\|u\|_2\|Du\|_2\le\|u\|_2^2+\|Du\|_2^2</math> (en utilisant que <math>\lim_{+\infty}u=0</math> et, à nouveau, Cauchy-Schwarz).
#*<math>u</math> est continue sur <math>\overline\Omega</math> — puisque <math>Du\in{\rm L}^1_{\mathrm{loc}}</math> — plus précisément : <math>u</math> est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même <math>\tfrac12</math>-[[Topologie générale/Espace métrique#Continuité uniforme|holdérienne]] puisque (par Cauchy-Schwarz) <math>|u(x)-u(y)|\le\|Du\|_2\sqrt{|x-y|}</math>.<br>De plus, <math>\lim_{+\infty}u=0</math> puisque <math>u^2(x)=u^2(0)+\int_0^x2uDu</math> a une limite en <math>+\infty</math> — car <math>uDu\in{\rm L}^1(\Omega)</math> — et que <math>u^2\in{\rm L}^1(\Omega)</math>.<br>Enfin, <math>\forall x\in\overline\Omega\quad u^2(x)=-\int_x^{+\infty}2uDu\le2\|u\|_2\|Du\|_2</math> (en utilisant que <math>\lim_{+\infty}u=0</math> et, à nouveau, Cauchy-Schwarz) donc <math>u^2(x)\le\|u\|_2^2+\|Du\|_2^2</math>.
#*La formule d'intégration par parties se démontre de même.
#*La formule d'intégration par parties se démontre de même.
#Tout <math>u\in H^1</math> est limite pour <math>\|~\|_{H^1}</math> de fonctions de <math>\mathcal D(\R_+)</math>, par troncature puis régularisation : on se ramène d'abord au cas où <math>u</math> est à support compact en l'approximant dans <math>H^1</math> par <math>u(x)\psi(x/n)</math> avec <math>\psi\in C_c^1(\overline\Omega)</math>, <math>\psi=1</math> au voisinage de 0 et <math>n\to+\infty</math>, puis on la convole par <math>\tfrac1\varepsilon\rho(x/\varepsilon)</math> avec <math>\rho\in C_c^\infty(\R)</math>, positive et d'intégrale 1 et <math>\varepsilon\to0^+</math>. Par conséquent, <math>H^1</math> est le complété, pour <math>\|~\|_{H^1}</math>, de <math>C_c^\infty(\overline\Omega)</math> (et ''a fortiori'' aussi de <math>\{u\in C^\infty(\overline\Omega)\mid u^2+u'^2\in{\rm L}^1(\Omega)\}</math>).
#Tout <math>u\in H^1</math> est limite pour <math>\|~\|_{H^1}</math> de fonctions de <math>\mathcal D(\R_+)</math>, par troncature puis régularisation : on se ramène d'abord au cas où <math>u</math> est à support compact en l'approximant dans <math>H^1</math> par <math>u(x)\psi(x/n)</math> avec <math>\psi\in C_c^1(\overline\Omega)</math>, <math>\psi=1</math> au voisinage de 0 et <math>n\to+\infty</math>, puis on la convole par <math>\tfrac1\varepsilon\rho(x/\varepsilon)</math> avec <math>\rho\in C_c^\infty(\R)</math>, positive et d'intégrale 1 et <math>\varepsilon\to0^+</math>. Par conséquent, <math>H^1</math> est le complété, pour <math>\|~\|_{H^1}</math>, de <math>C_c^\infty(\overline\Omega)</math> (et ''a fortiori'' aussi de <math>\{u\in C^\infty(\overline\Omega)\mid u^2+u'^2\in{\rm L}^1(\Omega)\}</math>).
{{Wikipédia|Théorème de Meyers-Serrin}}
{{Wikipédia|Théorème de Meyers-Serrin}}
'''Remarque.''' Plus généralement, pour tout réel <math>p\ge1</math>, on définit l'espace de Sobolev <math>H^{1,p}</math> comme étant l'espace de Banach
:<math>\forall u\in H^{1,p}\quad u\in C_0(\overline\Omega)\quad{\rm et}\quad\|u\|_\infty\le C^{1/p}\|u\|_{H^{1,p}}</math> avec <math>C:=\max(1,p-1)</math>. En effet :
*<math>\lim_{+\infty}u^p=0</math> puisque <math>u^p(x)=u^p(0)+\int_0^xpu^{p-1}Du</math> a une limite en <math>+\infty</math> — car <math>u^{p-1}Du\in{\rm L}^1(\Omega)</math>d'après l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Hölder]] — et que <math>u^p\in{\rm L}^1(\Omega)</math>.
*<math>\forall x\in\overline\Omega\quad|u(x)|^p=\left|\int_x^{+\infty}pu^{p-1}Du\right|\le p\|u\|_p^{p-1}\|Du\|_p</math> (en utilisant que <math>\lim_{+\infty}u=0</math> et, à nouveau, Hölder) donc (d'après l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Young]]) <math>|u(x)|^p\le C\left(\|u\|_p^p+\|Du\|_p^p\right)</math>.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Espaces de Hilbert Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
En déduire que est inversible si et seulement s'il existe une constante telle que : pour tout .
Solution
, c.-à-d. , car et même, .
car .
Si pour tout alors (donc est dense d'après la question 1), et est (bi)continue, donc est complet, si bien que . Réciproquement, si est inversible alors continue (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach), d'où l'existence d'une constante telle que pour tout .
Exercice 7-2
Soient un espace de Hilbert et un opérateur positif, c.-à-d.[1] : pour tout , .
Supposons et posons . Alors, . On en déduit que pour tous , et , , d'où et (en appliquant cette conclusion à qui appartient aussi à ) , si bien qu'en fait . Ceci prouve que .
est aussi positif donc . On a donc à la fois et , d'où .
Posons . Alors (sesquilinéaire continue) est coercive (car ) donc par Lax-Milgram, , autrement dit : , ce qui signifie exactement que est bijectif.
↑Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur qui, en plus de vérifier , est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'exercice 7-1 suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur est autoadjoint si et seulement si . Mais sur , vérifie et n'est pas autoadjoint ni même normal.
est continue sur — puisque — plus précisément : est égale presque partout à une fonction continue (à laquelle on l'identifie) ; elle est même -holdérienne puisque (par Cauchy-Schwarz) . De plus, puisque a une limite en — car — et que . Enfin, (en utilisant que et, à nouveau, Cauchy-Schwarz) donc .
La formule d'intégration par parties se démontre de même.
Tout est limite pour de fonctions de , par troncature puis régularisation : on se ramène d'abord au cas où est à support compact en l'approximant dans par avec , au voisinage de 0 et , puis on la convole par avec , positive et d'intégrale 1 et . Par conséquent, est le complété, pour , de (et a fortiori aussi de ).
(en utilisant que et, à nouveau, Hölder) donc (d'après l'inégalité de Young) .
Exercice 7-4
On reprend les notations de l'exercice précédent, et les résultats de la question 1.
Montrer qu'il existe un opérateur sur tel que pour tous , .
Montrer que est autoadjoint et de rang 1.
Soit . On considère le problème suivant : trouver tel que En intégrant contre une fonction test , mettre le problème sous la forme variationnelle suivante : .
En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution dans si et seulement si .
Solution
L'application bilinéaire est continue sur (de norme ) donc (d'après le th. de représentation de Riesz) de la forme pour un certain opérateur sur (de même norme que ).
est symétrique donc est autoadjoint. donc a même noyau que la forme linéaire , donc est un hyperplan, c'est-à-dire que est de rang 1. Une façon plus directe et plus explicite de résoudre ces deux questions est de remarquer qu'en posant , on a et (d'après la formule d'intégration par parties) donc . On trouve ainsi immédiatement (on le retrouvera grâce à la question 3 et ce sera utile à la question 4) que la valeur propre non nulle de est (c'est-à-dire que est la projection orthogonale sur la droite engendrée par ).
Si vérifie , ce qui s'écrit plus rigoureusement , alors — donc , ce qui donne un sens à — et (d'après la formule d'intégration par parties) . Par conséquent :
si et alors
;
réciproquement, si vérifie alors en particulier autrement dit , ce qui permet de remplacer le membre de gauche de l'hypothèse par , et d'en déduire que .
En appliquant cette équivalence à , on retrouve la valeur propre non nulle de et la droite propre associée. En effet, est un vecteur de cette droite si et seulement si et . En résolvant, on retrouve bien et .
Notons le vecteur qui (par Riesz) représente la forme linéaire (continue sur ). Alors, le problème équivaut à . Si, pour au moins un (donc pour au moins un ), ce problème a une unique solution , alors . Puisque les valeurs propres de sont 0 et 1, la condition équivaut à . Inversement, si c'est-à-dire si est injectif alors, d'après l'alternative de Fredholm (démontrée pour compact dans tout e.v.n. réel ou complexe — non nécessairement complet — et même, pour de rang fini, dans tout e.v. sur un corps arbitraire), est même bijectif, c'est-à-dire que pour chaque — en particulier ceux venant d'un — le problème a une unique solution (qu'il est ici facile d'expliciter : ). On peut de plus remarquer que pour , l'ensemble des solutions est soit une droite affine de direction (lorsque , c'est-à-dire ), soit vide (lorsque ).