« Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert » : différence entre les versions

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(→‎Exercice 7-2 : Remarque(s))
 
==Exercice 7-2==
Soient <math>H</math> un espace de Hilbert et <math>T</math> un opérateur positif, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]]<ref>Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur <math>T</math> qui, en plus de vérifier <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math>, est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'[[../Espaces de Hilbert#Exercice 7-1|exercice 7-1]] suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur <math>T</math> est autoadjoint si et seulement si <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\in\R</math>. Mais sur <math>\R^2</math>, <math>T:(x_1,x_2)\mapsto(x_1+x_2,x_2)</math> vérifie <math>\forall x~\langle Tx,x\rangle\ge0</math> et n'est pas autoadjoint ni même normal.</ref> : pour tout <math>x\in H</math>, <math>\langle Tx,x\rangle \ge0</math>.
#Montrer, pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t\in\R</math>, que <math>t\langle Ty, ty-x\rangle \geq 0ge0</math>. En déduire que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#En considérant <math>T^*</math>, montrer que <math>\ker T=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#En utilisant le {{w|théorème de Lax-Milgram}}, montrer que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif pour tout <math>t\ge0</math>.
{{Solution|contenu=}}
#Supposons <math>t\ne0</math> et posons <math>z=\frac xt</math>. Alors, <math>t\langle Ty, ty-x\rangle=t^2\langle T(y-z), y-z\rangle\ge0</math>.<br>On en déduit que pour tous <math>x\in\ker T</math>, <math>y\in H</math> et <math>t>0</math>, <math>\langle Ty,x\rangle\le t\langle Ty,y\rangle</math>, d'où <math>\langle Ty,x\rangle\le0</math> et (en appliquant cette conclusion à <math>-x</math> qui appartient aussi à <math>\ker T</math>) <math>\langle Ty,-x\rangle\le0</math>, si bien qu'en fait <math>\langle Ty,x\rangle=0</math>. Ceci prouve que <math>\ker T\subset(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#<math>T^*</math> est aussi positif donc <math>\ker(T^*)\subset(\operatorname{im}(T^*))^\bot=\ker T</math>. On a donc à la fois <math>\ker T\subset\ker(T^*)</math> et <math>\ker(T^*)\subset\ker T</math>, d'où <math>\ker T=\ker(T^*)=(\operatorname{im}T)^\bot</math>.
#Posons <math>a(u,v)=\langle(\mathrm I+tT)(u),v\rangle</math>. Alors <math>a</math> (sesquilinéaire continue) est coercive (car <math>a(u,u)=\|u\|^2+t\langle T(u),u\rangle\ge\|u\|^2</math>) donc par Lax-Milgram, <math>\forall y\in H\quad\exists!u\in H\quad\forall v\in H\quad a(u,v)=\langle y,v\rangle</math>, autrement dit : <math>\forall y\in H\quad\exists!u\in H\quad(\mathrm I+tT)(u)=y</math>, ce qui signifie exactement que <math>\mathrm I+tT</math> est bijectif.
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{{Références}}
 
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