« Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique » : différence entre les versions

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*'''Troisième méthode.''' Tout e.v.n. vérifie le lemme de Mazur : si <math>x_n\to x</math> faiblement, il existe une suite de combinaisons linéaires des <math>x_n</math> (donc à valeurs dans ''C'' si <math>x_n\in C</math> convexe) qui converge en norme vers <math>x</math>.
*'''Quatrième méthode''' (plus honnête, car Mazur l'utilise) : dans n'importe quel e.v.n., tout convexe fermé ''C'' est faiblement fermé (et a fortiori, faiblement séquentiellement fermé) car ''C'' est l'intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent. En effet, d'après la forme géométrique de Hahn-Banach, si <math>x\notin C</math>, il existe un hyperplan séparant strictement <math>x</math> de ''C''.
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==Exercice 1-4==
Soient ''E'' un espace de Banach et <math>(x_n)_{n\geq0}</math> une suite de ''E'' qui converge faiblement vers <math>x\in E</math>. Soient <math>\varphi_n,\varphi\in E'</math>.
#Si <math>\varphi_n\to\varphi</math> (fortement), montrer que <math>\langle\varphi_n,x_n\rangle\to\langle\varphi,x\rangle</math>.
#Cette conclusion subsiste-t-elle si l'on suppose seulement que <math>\varphi_n\to\varphi</math> faiblement ?
{{Solution|contenu=
#<math>|\langle\varphi_n,x_n\rangle-\langle\varphi,x\rangle|\le|\langle\varphi_n-\varphi,x_n\rangle|+|\langle\varphi,x_n-x\rangle|\le\|\varphi_n-\varphi\|\|x_n\|+|\langle\varphi,x_n-x\rangle|</math> et <math>(x_n)</math> est bornée (cf. exercice précédent, deuxième méthode).
#Non, sinon dans tout espace de Hilbert on aurait : si <math>x_n\to x</math> faiblement alors <math>\|x_n\|\to\|x\|</math> donc ([[w:Topologie faible#Convergence faible et espaces de Hilbert|propriété de Radon-Riesz]]) <math>x_n\to x</math> fortement, or dans <math>\ell^2</math>, <math>\delta_n\to0</math> faiblement et <math>\|\delta_n\|=1</math>. Ou moins savamment : non car par exemple dans <math>\ell^2</math>, <math>\delta_n\to0</math> faiblement mais <math>\langle x_n,x_n\rangle=1\not\to\langle0,0\rangle=0</math>.
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