« Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique » : différence entre les versions

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#Si <math>x_k\to x</math> faiblement dans <math>\ell^p</math>, c'est-à-dire si pour tout <math>y=(y_n)\in\ell^q</math>, <math>\sum_{n\in\N}x_{k,n}y_n\to\sum_{n\in\N}x_ny_n</math> alors pour tout <math>y=(y_n)\in\ell^q</math>, <math>\left(\sum_{n\in\N}x_{k,n}y_n\right)_k</math> est bornée. D'après le {{w|théorème de Banach-Steinhaus}}, <math>\left(x_k\right)_k</math> est alors bornée dans l'espace vectoriel normé <math>(\ell^q)'</math>, égal à <math>\ell^p</math> d'après le {{w|théorème de Hahn-Banach}}. De plus, en appliquant l'hypothèse aux suites <math>y</math> dont un terme vaut <math>1</math> et les autres sont nuls, on trouve tout de suite que pour tout <math>n</math>, <math>(x_{k,n})_k\to x_n</math>. Réciproquement, supposons que les conditions 1 et 2 sont remplies. D'après le point 2, pour tout <math>y\in\ell^q</math> à support fini, <math>\sum_{n\in\N}x_{k,n}y_n\to\sum_{n\in\N}x_ny_n</math>. Grâce au point 1 (et à la question 1), on en déduit que <math>x_k\to x</math> faiblement dans <math>\ell^p</math>.
#Soit <math>(x_k)_k</math> une suite bornée de <math>\ell^p</math>. Par récurrence, on construit pour tout <math>j</math> une sous-suite <math>(x_{\varphi_j(k)})_k</math> (extraite de celle au rang précédent) telle que pour tout <math>n\le j</math>, <math>x_{\varphi_j(k),n}\to x_n</math>. Puis on applique le « procédé diagonal » : <math>(x_{\varphi_k(k)})_k</math> vérifie la condition 2, et bien sûr la condition 1. On conclut grâce à la question précédente.
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==Exercice 1-3==
Soient ''H'' un espace de Hilbert et ''C'' un [[Espaces vectoriels normés/Connexité#Convexité|convexe]] de ''H''. Montrer que ''C'' est fermé si et seulement s'il est faiblement séquentiellement fermé, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] si pour toute suite <math>(x_n)_n</math> dans ''C'' qui converge faiblement (dans ''H'') vers <math>x</math>, la limite <math>x</math> appartient à ''C''.
{{Solution|contenu=
Toute partie d'un e.v.n. qui est faiblement séquentiellement fermée est évidemment séquentiellement fermée donc fermée. Réciproquement, soit ''C'' un convexe fermé d'un Hilbert (réel) ''H'', montrons que ''C'' est faiblement séquentiellement fermé. Soit <math>C\ni x_n\to x</math> faiblement, c'est-à-dire que <math>\forall\varphi\in H'\quad\varphi(x_n)\to\varphi(x)</math>, montrons que <math>x\in C</math>.
*'''Première méthode.''' Soit <math>p:H\to C</math> la projection. <math>\forall n\in\N\quad\langle x_n-p(x),x-p(x)\rangle\le0</math> donc (par convergence faible) <math>\|x-p(x)\|^2=\langle x-p(x),x-p(x)\rangle\le0</math> donc <math>x=p(x)\in C</math>.
*'''Deuxième méthode.''' Tout espace de Hilbert est uniformément convexe (c'est-à-dire <math>\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall x,y\in H\quad\left(\|x\|\le1~\text{et}~\|y\|\le1~\text{et}~\|x-y\|\ge\varepsilon\right)\Rightarrow\left\|\frac{x+y}2\right\|\le1-\delta</math>) donc vérifie la propriété de Banach-Saks (c'est-à-dire que toute suite bornée admet une sous-suite Cesaro-convergente). Or toute partie ''A'' faiblement bornée (en particulier toute suite faiblement convergente) est bornée (d'après le th. de Banach-Schauder, qui montre que <math>\{\|J(a)\|\mid a\in A\}</math> est borné, où <math>J:H\to H''</math> est le plongement canonique, et celui de Hahn-Banach, qui dit que <math>\|J(a)\|=\|a\|</math>). Donc <math>(x_n)</math> a une sous-suite dont la suite des moyennes de Cesaro (qui est à valeurs dans ''C'') converge. La limite est nécessairement <math>x</math>, donc <math>x\in C</math>.
*'''Troisième méthode.''' Tout e.v.n. vérifie le lemme de Mazur : si <math>x_n\to x</math> faiblement, il existe une suite de combinaisons linéaires des <math>x_n</math> (donc à valeurs dans ''C'' si <math>x_n\in C</math> convexe) qui converge en norme vers <math>x</math>.
*'''Quatrième méthode''' (plus honnête, car Mazur l'utilise) : dans n'importe quel e.v.n., tout convexe fermé ''C'' est faiblement fermé (et a fortiori, faiblement séquentiellement fermé) car ''C'' est l'intersection des demi-espaces fermés qui le contiennent. En effet, d'après la forme géométrique de Hahn-Banach, si <math>x\notin C</math>, il existe un hyperplan séparant strictement <math>x</math> de ''C''.
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