« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
→‎Exercice 3-2 : début de sol
Ligne 31 : Ligne 31 :
#Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur <math>\mathbb D</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> telle que <math>\overline{f(z)}=f(z)</math> si <math>|z|=1</math>. Que peut-on dire de <math>f</math> ?
#Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur <math>\mathbb D</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> telle que <math>\overline{f(z)}=f(z)</math> si <math>|z|=1</math>. Que peut-on dire de <math>f</math> ?
{{Solution|contenu=
{{Solution|contenu=
#D'après la [[../../Formule intégrale de Cauchy|formule intégrale de Cauchy]], si <math>|z|<1</math> :
##<math>f(z)=\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{u=\operatorname e^{\mathrm i\theta},\,\theta\in[0,2\pi]}\frac{f(u)}{u-z} \mathrm du=\frac1{2\mathrm i\pi}\int_0^{2\pi} \frac{f(e^{\mathrm i\theta})}{e^{\mathrm i\theta}-z}\mathrm ie^{\mathrm i\theta}\mathrm d\theta=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)}{1-z\operatorname e^{-\mathrm i\theta}}\,\mathrm d\theta</math> ;
##<math>0=-\frac1{2\mathrm i\pi}\int_{u=\operatorname e^{\mathrm i\theta},\,\theta\in[0,2\pi]}\frac{f(u)}{u-1/\bar z} \mathrm du=\frac{\bar z}{2\mathrm i\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(e^{\mathrm i\theta})}{1-\bar ze^{\mathrm i\theta}}\mathrm ie^{\mathrm i\theta}\mathrm d\theta=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f\left(\operatorname e^{\mathrm i\theta}\right)\overline z\operatorname e^{\mathrm i\theta}}{1-\overline z\operatorname e^{\mathrm i\theta}}\,\mathrm d\theta</math>.
{{en cours}}
}}
}}



Version du 21 septembre 2021 à 15:03

Fonctions holomorphes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no3
Leçon : Fonctions d'une variable complexe

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Trigonométrie complexe
Exo suiv. :Sommaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Fonctions holomorphes
Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 3-1

On désigne par , et les trois racines cubiques de et l'on note pour . On pose .

  1. Montrer que est un domaine de tel que si alors et que l'application holomorphe est surjective.
  2. On désignera par la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine .
    Calculer la dérivée de la fonction holomorphe .
  3. Écrire le développement en série entière de au voisinage de en précisant son rayon de convergence.

Exercice 3-2

Soit une fonction holomorphe sur le disque avec .

  1. Démontrer les propriétés suivantes :
    1. si  ;
    2. si .
    1. Vérifier que si et , on a la relation suivante :
      .
    2. Démontrer la formule suivante :
      si .
  2. Montrer que cette formule reste valable si est holomorphe sur et continue sur (considérer, pour , la fonction ).
  3. Soit une fonction holomorphe sur et continue sur telle que si . Que peut-on dire de  ?

Exercice 3-3

Soient deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle en posant

si

sont les pôles de , c.-à-d. les zéros de .

On désignera par le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : et .

    1. Montrer que se prolonge en une application continue de dans , que l'on notera encore . Quelles sont les images des pôles par le prolongement  ?
    2. Rappeler pourquoi deux fonctions et de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de , coïncident partout sur .
      Dans toute la suite, on suppose que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant la propriété suivante :
      si .
  1. Pour chaque point , on pose
    .
    On suppose dans cette question que est une homographie qui vérifie . Montrer qu'il existe et tels que pour tout .
  2. On revient au cas général d'une fraction rationnelle vérifiant et l'on définit la fonction suivante :
    désigne le conjugué de . Montrer que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant pour . Comparer et sur .
    1. Montrer qu'un élément est un zéro de si et seulement si est un pôle de . Interpréter géométriquement ce résultat.
    2. Montrer que si et , alors il existe tel que R s'écrive sous la forme
      sont les zéros de comptés avec leur multiplicité.
  3. Déterminer toutes les fractions rationnelles de la variable qui vérifient la condition