Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique

Exercice 1-1

Soient $X$ un espace topologique, $E={\mathcal {C}}_{b}(X,\mathbb {R} )$ l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme, $(x_{n})$ une suite de points de $X$ et $\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$ une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout $f\in E$, on pose

$T(f)=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}f(x_{n})$.

1. Montrer que $T$ est une forme linéaire continue sur $E$, de norme $\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$.
2. Montrer que $|\!|\!|T|\!|\!|=\sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$.

Solution

1. Le seul point non immédiat est la majoration de la norme (qui garantit la continuité). Pour toute $f\in E$, $|T(f)|\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}||f(x_{n})|\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|\|f\|$ donc $|\!|\!|T|\!|\!|\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$.
2. Soit $\varepsilon >0$. Il existe $N\in \mathbb {N}$, tel que $\sum _{n\geq N}|a_{n}|<\varepsilon$. Puis, il existe $f\in E$ de norme $1$ telle que pour $n=0,1,\dots ,N$, $a_{n}f(x_{n})=|a_{n}|$.
   Alors, $|\!|\!|T|\!|\!|\geq |T(f)|\geq \left|\sum _{n<N}a_{n}f(x_{n})\right|-\left|\sum _{n\geq N}a_{n}f(x_{n})\right|\geq \sum _{n<N}|a_{n}|-\varepsilon \geq \sum _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|-2\varepsilon$.

 

Exercice 1-2

On rappelle que $\ell ^{p}:=\ell ^{p}(\mathbb {N} ,\mathbb {C} )$, $1<p<\infty$ désigne l'espace des suites $x=(x_{n})$ de nombres complexes telles que

$\|x\|_{p}:=\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<\infty$.

Toute forme linéaire continue $T\in \left(\ell ^{p}\right)'$ peut s'écrire

$Tx=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\quad \forall x=(x_{n})\in \ell ^{p}$

où $y=(y_{n})\in \ell ^{q}$ avec ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$.

1. Montrer que dans l'espace $\ell ^{q}$, le sous-espace des suites de support fini est dense.
2. Montrer qu'une suite $(x_{k})_{k}$ d'éléments $x_{k}=(x_{k,n})_{n}$ de $\ell ^{p}$ converge faiblement vers $x=(x_{n})_{n}\in \ell ^{p}$ si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
   1. la suite $(x_{k})_{k}$ est bornée ;
   2. pour tout entier $n$, la suite $(x_{k,n})_{k}$ converge vers $x_{n}$ (dans $\mathbb {C}$).
3. En déduire que toute suite bornée de $\ell ^{p}$ admet une sous-suite faiblement convergente.

Solution

1. Tout élément $x=(x_{n})\in \ell ^{q}$ est limite d'une suite $(x_{k})_{k}$ d'éléments $x_{k}=(x_{k,n})_{n}\in \ell ^{q}$ à support fini : $x_{k,n}={\begin{cases}x_{n}&{\text{si }}n<k\\0&{\text{si }}n\geq k\end{cases}}$.
2. Si $x_{k}\to x$ faiblement dans $\ell ^{p}$, c'est-à-dire si pour tout $y=(y_{n})\in \ell ^{q}$, $\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{k,n}y_{n}\to \sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n}$ alors pour tout $y=(y_{n})\in \ell ^{q}$, $\left(\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{k,n}y_{n}\right)_{k}$ est bornée. D'après le théorème de Banach-Steinhaus, $\left(x_{k}\right)_{k}$ est alors bornée dans l'espace vectoriel normé $(\ell ^{q})'$, égal à $\ell ^{p}$ d'après le théorème de Hahn-Banach. De plus, en appliquant l'hypothèse aux suites $y$ dont un terme vaut $1$ et les autres sont nuls, on trouve tout de suite que pour tout $n$, $(x_{k,n})_{k}\to x_{n}$. Réciproquement, supposons que les conditions 1 et 2 sont remplies. D'après le point 2, pour tout $y\in \ell ^{q}$ à support fini, $\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{k,n}y_{n}\to \sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n}$. Grâce au point 1 (et à la question 1), on en déduit que $x_{k}\to x$ faiblement dans $\ell ^{p}$.
3. Soit $(x_{k})_{k}$ une suite bornée de $\ell ^{p}$. Par récurrence, on construit pour tout $j$ une sous-suite $(x_{\varphi _{j}(k)})_{k}$ (extraite de celle au rang précédent) telle que pour tout $n\leq j$, $x_{\varphi _{j}(k),n}\to x_{n}$. Puis on applique le « procédé diagonal » : $(x_{\varphi _{k}(k)})_{k}$ vérifie la condition 2, et bien sûr la condition 1. On conclut grâce à la question précédente.