« Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique » : différence entre les versions

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==Exercice 1-1==
Soient <math>X</math> un espace topologique, <math>E=\mathcal C_b(X,\R)</math> l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la [[Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions#Convergence uniforme|norme de la convergence uniforme]], <math>(x_n)</math> une suite de points de <math>X</math> et <math>\sum_{n\in\N}a_n</math> une série absolument convergente de nombres réels distincts. Pour tout <math>f\in E</math>, on pose
:<math>T(f)=\sum_{n\in\N}a_nf(x_n)</math>.
#Montrer que <math>T</math> est une forme [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Cas particulier des applications linéaires|linéaire continue sur <math>E</math>, de norme <math>\le\sum_{n\in\N}|a_n|</math>]].
#Montrer que <math>|\!|\!|T|\!|\!|=\sum_{n\in\N}|a_n|</math>.
{{Solution|contenu=
#Le seul point non immédiat est la majoration de la norme (qui garantit la continuité). Pour toute <math>f\in E</math>, <math>|T(f)|\le\sum_{n\in\N}|a_n||f(x_n)|\le\sum_{n\in\N}|a_n|\|f\|</math> donc <math>|\!|\!|T|\!|\!|\le\sum_{n\in\N}|a_n|</math>.
#Soit <math>\varepsilon>0</math>. Il existe <math>N\in\N</math>, tel que <math>\sum_{n\ge N}|a_n|<\varepsilon</math>. Puis, il existe <math>f\in E</math> de norme <math>1</math> telle que pour <math>n=0,1,\dots,N</math>, <math>a_nf(x_n)=|a_n|</math>.<br>Alors, <math>|\!|\!|T|\!|\!|\ge|T(f)|\ge\left|\sum_{n<N}a_nf(x_n)\right|-\left|\sum_{n\ge N}a_nf(x_n)\right|\ge\sum_{n<N}|a_n|-\varepsilon\ge\sum_{n\in\N}|a_n|-2\varepsilon</math>.
}}
 
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