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==Exercice 1-1==
==Exercice 1-1==
Soient <math>X</math> un espace topologique, <math>E=\mathcal C_b(X,\R)</math> l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la [[Suites et séries de fonctions/Suites de fonctions#Convergence uniforme|norme de la convergence uniforme]], <math>(x_n)</math> une suite de points de <math>X</math> et <math>\sum_{n\in\N}a_n</math> une série absolument convergente de nombres réels. Pour tout <math>f\in E</math>, on pose
:<math>T(f)=\sum_{n\in\N}a_nf(x_n)</math>.
#Montrer que <math>T</math> est une forme [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Cas particulier des applications linéaires|linéaire continue sur <math>E</math>, de norme <math>\le\sum_{n\in\N}|a_n|</math>]].
#Montrer que <math>|\!|\!|T|\!|\!|=\sum_{n\in\N}|a_n|</math>.
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==Exercice 1-2==
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{{Wikipédia|Espace réflexif}}
{{Wikipédia|Espace réflexif}}
On rappelle que <math>\ell^p:=\ell^p(\N,\C)</math>, <math>1<p<\infty</math> désigne l'espace des suites <math>x=(x_n)</math> de nombres complexes telles que
On rappelle que <math>\ell^p:=\ell^p(\N,\C)</math>, <math>1<p<\infty</math> désigne l'espace des suites <math>x=(x_n)</math> de nombres complexes telles que

Version du 16 septembre 2021 à 19:43

Dual topologique
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Exercices no1
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

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Exo suiv. :Algèbres de Banach
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Espaces de Banach/Exercices/Dual topologique
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Exercice 1-1

Soient un espace topologique, l'espace de Banach des fonctions continues bornées, muni de la norme de la convergence uniforme, une suite de points de et une série absolument convergente de nombres réels. Pour tout , on pose

.
  1. Montrer que est une forme linéaire continue sur , de norme .
  2. Montrer que .

Exercice 1-2

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On rappelle que , désigne l'espace des suites de nombres complexes telles que

.

Toute forme linéaire continue peut s'écrire

avec .

  1. Montrer que dans l'espace , le sous-espace des suites de support fini est dense.
  2. Montrer qu'une suite d'éléments de converge faiblement vers si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes :
    1. la suite est bornée ;
    2. pour tout entier , la suite converge vers (dans ).
  3. En déduire que toute suite bornée de admet une sous-suite faiblement convergente.