« Fonctions d'une variable complexe/Exercices/Fonctions holomorphes » : différence entre les versions
Transcription d'un énoncé d'examen de l'université Toulouse 3 (1998) : exos 1 et 2 (sur 3) |
→Exercice 3-2 : début de l'exo 3 |
||
Ligne 27 : | Ligne 27 : | ||
#Montrer que cette formule reste valable si <math>f</math> est holomorphe sur <math>\mathbb D:=\mathbb D_1</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> (considérer, pour <math>r>1</math>, la fonction <math>f_r(z):=f(z/r)</math>). |
#Montrer que cette formule reste valable si <math>f</math> est holomorphe sur <math>\mathbb D:=\mathbb D_1</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> (considérer, pour <math>r>1</math>, la fonction <math>f_r(z):=f(z/r)</math>). |
||
#Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur <math>\mathbb D</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> telle que <math>\overline{f(z)}=f(z)</math> si <math>|z|=1</math>. Que peut-on dire de <math>f</math> ? |
#Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur <math>\mathbb D</math> et continue sur <math>\overline{\mathbb D}</math> telle que <math>\overline{f(z)}=f(z)</math> si <math>|z|=1</math>. Que peut-on dire de <math>f</math> ? |
||
{{Solution|contenu= |
|||
}} |
|||
==Exercice 3-3== |
|||
Soient <math>P,Q\in\C[z]</math> deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle <math>R</math> en posant |
|||
:<math>R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}</math> si <math>z\in\C\setminus\{b_1,\dots,b_q\}</math> |
|||
où <math>b_1,\dots,b_q</math> sont les pôles de <math>R</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] les zéros de <math>Q</math>. |
|||
On désignera par <math>\overline\C:=\C\cup\{\infty\}</math> le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : <math>\frac10=\infty</math> et <math>\frac1\infty=0</math>. |
|||
# |
|||
##Montrer que <math>R</math> se prolonge en une application continue de <math>\overline\C</math> dans <math>\overline\C</math>, que l'on notera encore <math>R</math>. Quelles sont les images des pôles <math>b_1,\dots,b_q</math> par le prolongement <math>R</math> ? |
|||
##Rappeler pourquoi deux fonctions <math>R_1</math> et <math>R_2</math> de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de <math>\overline\C</math>, coïncident partout sur <math>\overline\C</math>. |
|||
##:''Dans toute la suite'', on suppose que <math>R</math> est une fraction rationnelle de la variable complexe <math>z</math> vérifiant la propriété suivante : |
|||
##:<math>(*)\qquad|R(z)|=1</math> si <math>|z|=1</math>. |
|||
#Pour chaque point <math>a\in\C</math>, on pose |
|||
#:<math>\varphi_a(z):=\frac{z-a}{1-\overline az},\quad\forall z\in\overline\C</math> |
|||
#:et <math>\varphi_\infty(z):=\frac1z,\quad\forall z\in\overline\C</math>. |
|||
{{en cours}} |
|||
{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
||
}} |
}} |
Version du 15 septembre 2021 à 09:29
Exercice 3-1
On désigne par , et les trois racines cubiques de et l'on note pour . On pose .
- Montrer que est un domaine de tel que si alors et que l'application holomorphe est surjective.
- On désignera par la détermination principale du logarithme complexe sur le domaine .
Calculer la dérivée de la fonction holomorphe . - Écrire le développement en série entière de au voisinage de en précisant son rayon de convergence.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 3-2
Soit une fonction holomorphe sur le disque avec .
- Démontrer les propriétés suivantes :
- si ;
- si .
-
- Vérifier que si et , on a la relation suivante :
- .
- Démontrer la formule suivante :
- si .
- Vérifier que si et , on a la relation suivante :
- Montrer que cette formule reste valable si est holomorphe sur et continue sur (considérer, pour , la fonction ).
- Soit une fonction holomorphe sur et continue sur telle que si . Que peut-on dire de ?
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?
Exercice 3-3
Soient deux polynômes d'une variable complexe à coefficients complexes, sans zéro commun. On définit la fraction rationnelle en posant
- si
où sont les pôles de , c.-à-d. les zéros de .
On désignera par le plan complexe compactifié et l'on adoptera la convention d'écriture suivante : et .
-
- Montrer que se prolonge en une application continue de dans , que l'on notera encore . Quelles sont les images des pôles par le prolongement ?
- Rappeler pourquoi deux fonctions et de la variable complexe qui coïncident en tout point d'un ensemble infini de , coïncident partout sur .
- Dans toute la suite, on suppose que est une fraction rationnelle de la variable complexe vérifiant la propriété suivante :
- si .
- Pour chaque point , on pose
- et .
Un contributeur est en ce moment même en train de travailler en profondeur sur cette page ou section de page. Merci de ne pas modifier celle-ci afin de limiter les risques de conflit de versions jusqu’à disparition de cet avertissement .
Enlevez ce modèle dès que le travail est fini ; si le travail doit être continué, utilisez le modèle : {{Pas fini}}.
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?