« Translation et homothétie/Exercices/Composition d'homothéties et de translations » : différence entre les versions
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#<math>g\circ f</math> est la translation de vecteur <math>\vec{AI}</math>, où <math>I:=g\circ f(A)=g(A)</math> est le milieu de <math>[AB]</math>. |
#<math>g\circ f</math> est la translation de vecteur <math>\vec{AI}</math>, où <math>I:=g\circ f(A)=g(A)</math> est le milieu de <math>[AB]</math>. |
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#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-\frac32</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>g(A)=B-\frac12\vec{BA}</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}-\frac12\vec{BA}=-\frac32\vec{\Omega A}</math>, soit <math>\Omega=A+\frac35\vec{AB}</math>. |
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-\frac32</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>g(A)=B-\frac12\vec{BA}</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}-\frac12\vec{BA}=-\frac32\vec{\Omega A}</math>, soit <math>\Omega=A+\frac35\vec{AB}</math>. |
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#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>2</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=2\vec{\Omega A}</math>, c |
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>2</math> qui envoie <math>A</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=2\vec{\Omega A}</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] le symétrique de <math>B</math> par rapport à <math>A</math>. |
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#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-3</math> qui envoie <math>B-2\vec{AB}</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=-3\left(\vec{\Omega B}-2\vec{AB}\right)</math>, soit <math>\Omega=A-\frac12\vec{AB}</math>. |
#<math>g\circ f</math> est l'homothétie de rapport <math>-3</math> qui envoie <math>B-2\vec{AB}</math> sur <math>B</math>. Son centre est donc le point <math>\Omega</math> tel que <math>\vec{\Omega B}=-3\left(\vec{\Omega B}-2\vec{AB}\right)</math>, soit <math>\Omega=A-\frac12\vec{AB}</math>. |
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*<math>h</math> une homothétie, de centre <math>A</math> et de rapport <math>k</math> ; |
*<math>h</math> une homothétie, de centre <math>A</math> et de rapport <math>k</math> ; |
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*<math>t</math> une translation, de vecteur <math>\vec u</math>. |
*<math>t</math> une translation, de vecteur <math>\vec u</math>. |
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Montrer que dans le cas général, <math>t\circ h\ne h\circ t</math>. Dans quels cas a-t-on l'égalité ? |
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{{Solution|contenu= |
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Pour tout point <math>M</math>, on a <math>t(M)=M+\vec u</math> et <math>\overrightarrow{Ah(M)}=k\overrightarrow{AM}</math>. |
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On en déduit : <math>\overrightarrow{A\,t\circ h(M)}=\overrightarrow{Ah(M)}+\vec u=k\overrightarrow{AM}+\vec u</math> et <math>\overrightarrow{A\,h\circ t(M)}=k\overrightarrow{At(M)}=k(\overrightarrow{AM}+\vec u)</math>. |
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On a donc égalité si et seulement si <math>\vec u=k\vec u</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>\vec u=\vec0</math> ou k=1, c.-à-d. <math>t=\mathrm{id}</math> ou <math>h=\mathrm{id}</math>. |
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On rappelle que <math>t\circ h</math> et <math>h\circ t</math> sont des homothéties de rapport <math>k</math>. |
On rappelle que <math>t\circ h</math> et <math>h\circ t</math> sont des homothéties de rapport <math>k</math>. |
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En supposant <math>k\ne1</math>, nous noterons : |
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*<math>I</math> le centre de <math>t\circ h</math> ; |
*<math>I</math> le centre de <math>t\circ h</math> ; |
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*<math>J</math> celui de <math>h\circ t</math> ; |
*<math>J</math> celui de <math>h\circ t</math> ; |
Version du 30 juillet 2021 à 09:46
Exercice 2-1
Soit et deux points d'un plan.
Dans chacun des cas suivants, donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation .
1° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
2° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
3° est l'homothétie de centre et de rapport .
- est la translation de vecteur .
4° est la translation de vecteur .
- est l'homothétie de centre et de rapport .
- est la translation de vecteur , où est le milieu de .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , c.-à-d. le symétrique de par rapport à .
- est l'homothétie de rapport qui envoie sur . Son centre est donc le point tel que , soit .
Exercice 2-2
Soient :
- trois points d'un plan ;
- l'homothétie de centre et de rapport ;
- la translation de vecteur .
Donnez la nature des transformations et et construisez leurs centres.
et sont deux homothéties de rapport . Notons et leurs centres respectifs.
- donc .
- donc .
Remarque : la donnée des points et ne sert pas : seul le vecteur de la translation est utile.
Exercice 2-3
Soient :
- une homothétie, de centre et de rapport ;
- une translation, de vecteur .
Montrer que dans le cas général, . Dans quels cas a-t-on l'égalité ?
Pour tout point , on a et .
On en déduit : et .
On a donc égalité si et seulement si , c.-à-d. ou k=1, c.-à-d. ou .
On rappelle que et sont des homothéties de rapport . En supposant , nous noterons :
- le centre de ;
- celui de ;
- l'image de par .
Montrez que :
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par définition de et .
- Immédiat, par la question précédente.
- D'après les questions 3 et 1, , donc .
- est aussi le centre de donc en remplaçant et par leurs inverses dans la question précédente, on en déduit : .