« Continuité et variations/Exercices/Variations d'une fonction » : différence entre les versions
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→Exercice 4-2 : +1 |
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Ligne 41 : | Ligne 41 : | ||
</math> |
</math> |
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==Exercice 4- |
==Exercice 4-3== |
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Soit <math>f</math> définie par <math>f(x)=\sqrt{8-x^3}</math>. |
Soit <math>f</math> définie par <math>f(x)=\sqrt{8-x^3}</math>. |
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Ligne 61 : | Ligne 61 : | ||
\end{array} |
\end{array} |
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</math> |
</math> |
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==Exercice 4-4== |
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Soit <math>f</math> définie sur <math>\R\setminus\{1\}</math>. |
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On donne ci-dessous son tableau de variations sur <math>\left]1,+\infty\right[</math> : |
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:<math>\begin{array}{c|ccccccc|} |
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x&1&&3&&+\infty\\ |
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\hline |
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&+\infty&&&&+\infty\\ |
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f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\ |
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&&&\frac52&&\\ |
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\hline |
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\end{array} |
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</math> |
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De plus on admet que sur son domaine, <math>f</math> peut s'écrire sous la forme |
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:<math>f(x)=ax+\frac b{x-c}</math> où <math>a,b,c\in\R</math>. |
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#Déterminer <math>c</math>. |
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#Calculer <math>f'</math> et en déduire une relation entre <math>a</math> et <math>b</math>. |
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#Le tableau de variations nous fournit les coordonnées d'un point particulier du graphe de <math>f</math>. En déduire une seconde relation entre <math>a</math> et <math>b</math>. |
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#Déterminer <math>a</math> et <math>b</math>. |
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#Montrer que la représentation graphique de <math>f</math> admet un centre de symétrie. |
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{{Solution|contenu= |
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#L'asymptote verticale a pour abscisse <math>c=1</math>. |
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#<math>f'(x)=a-\frac b{(x-c)^2}</math> donc <math>0=f'(3)=a-\frac b{(3-1)^2}</math>, soit <math>b=4a</math>. |
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#<math>\frac52=f(3)=3a+\frac b{3-1}=3a+\frac b2</math>, soit <math>6a+b=5</math>. |
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#<math>5-6a=4a\Rightarrow a=\frac12</math>, et <math>b=4a=2</math>. |
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#<math>f(1+t)=\frac{1+t}2+\frac2t=g(t)+\frac12</math> avec <math>g</math> impaire, donc le graphe de <math>f</math> est symétrique par rapport au point <math>(1,1/2)</math>. |
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}} |
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Version du 10 juillet 2021 à 08:03
Exercice 4-1
Soit définie par .
Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en .
Solution
donc .
Exercice 4-2
Soit définie par .
Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en .
Solution
donc .
Exercice 4-3
Soit définie par .
Donner son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, sa dérivée et son tableau de variations, avec les valeurs de et en et leurs limites aux bornes.
Solution
est définie sur et dérivable sur , avec .
Exercice 4-4
Soit définie sur .
On donne ci-dessous son tableau de variations sur :
De plus on admet que sur son domaine, peut s'écrire sous la forme
- où .
- Déterminer .
- Calculer et en déduire une relation entre et .
- Le tableau de variations nous fournit les coordonnées d'un point particulier du graphe de . En déduire une seconde relation entre et .
- Déterminer et .
- Montrer que la représentation graphique de admet un centre de symétrie.
Solution
- L'asymptote verticale a pour abscisse .
- donc , soit .
- , soit .
- , et .
- avec impaire, donc le graphe de est symétrique par rapport au point .