Continuité et variations/Exercices/Variations d'une fonction

Exercice 4-1

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(x)={\frac {1}{\operatorname {e} ^{x^{2}+x}}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \infty$.

Solution

$f(x)=\operatorname {e} ^{-x^{2}-x}$ donc $f'(x)=(-2x-1)\operatorname {e} ^{-x^{2}-x}$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-{\frac {1}{2}}&&+\infty \\\hline &&&{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}&&\\f(x)&&\nearrow &&\searrow &\\&0&&&&0\\\hline \end{array}}$

 

Exercice 4-2

Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par $f(x)={\frac {2}{\operatorname {e} ^{-x^{2}-2x}}}$.

Donner sa dérivée et son tableau de variations, avec les limites en $\pm \infty$.

Solution

$f(x)=2\operatorname {e} ^{x^{2}+2x}$ donc $f'(x)=4(x+1)\operatorname {e} ^{x^{2}+2x}$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&+\infty \\\hline &+\infty &&&&+\infty \\f(x)&&\searrow &&\nearrow &\\&&&{\frac {2}{\mathrm {e} }}&&\\\hline \end{array}}$

 

Exercice 4-2

Soit $f$ définie par $f(x)={\sqrt {8-x^{3}}}$.

Donner son domaine de définition, son domaine de dérivabilité, sa dérivée et son tableau de variations, avec les valeurs de $f$ et $f'$ en $0$ et leurs limites aux bornes.

Solution

$f$ est définie sur $\left]-\infty ,2\right]$ et dérivable sur $\left]-\infty ,2\right[$, avec $f'(x)={\frac {-3x^{2}}{2{\sqrt {8-x^{3}}}}}$.

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&0&&2\\\hline f'(x)&-\infty &-&0&-&-\infty \\\hline &+\infty &&&&\\f(x)&&\searrow &&&\\&&&2{\sqrt {2}}&&\\&&&&\searrow &\\&&&&&0\\\hline \end{array}}$