« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Autre méthode : <math>\deg(P_n)=1+2+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1</math> et les <math>2^{n+1}-1</math> racines de <math>P_n</math> sont les complexes <math>z</math> tels que <math>z^{2^k}=-1</math> pour un certain <math>k\in\{0,1,\dots,n\}</math>. Cela équivaut à <math>\exists k\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{k+1}}=1</math> et <math>z^{2^k}\ne1</math>, donc à <math>z\ne1</math> et <math>\exists j\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{j+1}}=1</math>. Le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines <math>2^{n+1}</math>-ièmes de l'unité sauf 1 est <math>\frac{X^{2^{n+1}}-1}{X-1}</math>. |
Autre méthode : <math>\deg(P_n)=1+2+2^2+\dots+2^n=2^{n+1}-1</math> et les <math>2^{n+1}-1</math> racines de <math>P_n</math> sont les complexes <math>z</math> tels que <math>z^{2^k}=-1</math> pour un certain <math>k\in\{0,1,\dots,n\}</math>. Cela équivaut à <math>\exists k\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{k+1}}=1</math> et <math>z^{2^k}\ne1</math>, donc à <math>z\ne1</math> et <math>\exists j\in\{0,1,\dots,n\}\quad z^{2^{j+1}}=1</math>. Le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines <math>2^{n+1}</math>-ièmes de l'unité sauf 1 est <math>\frac{X^{2^{n+1}}-1}{X-1}</math>. |
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==Exercice 1-12== |
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Soit <math>P(X)=X^5-13X^4+67X^3-171X^2+216X-108</math>. Calculer <math>\operatorname{pgcd}(P,P')</math> et en déduire une factorisation de <math>P</math>. |
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<math>P'(X)=5X^4-52X^3+201X^2-342X+216</math>. |
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<math>P(X)=(X-13/5)P'(X)-\frac65(X^3-8X^2+21X-18)</math> et <math>P'(X)=(X^3-8X^2+21X-18)(5X-12)</math> donc <math>\operatorname{pgcd}(P,P')=X^3-8X^2+21X-18</math> et ce polynôme a forcément une racine multiple car s'il avait trois racines simples, <math>P</math> aurait trois racines doubles, ce qui est exclu vu son degré. |
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<math>(X^3-8X^2+21X-18)'=3X^2-16X+21=(X-3)(3X-7)</math> et <math>3^3-8.3^2+21.3-18=9(3-8+7-2)=0</math> donc <math>X^3-8X^2+21X-18=(X-3)^2(X-\alpha)</math>, avec <math>-18=(-3)^2(-\alpha)</math> donc <math>\alpha=2</math>. |
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Puisque 3 est racine double et 2 racine simple de <math>\operatorname{pgcd}(P,P')</math>, 3 est racine triple et 2 racine double de <math>P</math>, donc (comme <math>P</math> est unitaire et de degré 5) <math>P(X)=(X-3)^3(X-2)^2</math>. |
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Version du 17 juin 2021 à 19:23
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique racine réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
Montrer que pour tout , est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine de ce polynôme.
.
(Ou par triple récurrence.)
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .
Exercice 1-7
Démontrer que pour tout ,
- .
Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.
Les pour sont racines de .
Autrement dit, pour () : , où .
Le -ième polynôme de Tchebychev est de degré , de coefficient dominant et de terme constant si est pair. est donc de degré , de coefficient dominant et de terme constant . Le produit de ses racines est bien égal à .
Remarque : de façon équivalente, .
- Pour une autre méthode, voir Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6 question 2 (dans le cas particulier ).
- Pour d'autres formules de ce genre, voir Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques.
Exercice 1-8
Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que
- .
Il s'agit de vérifier que , où .
Le polynôme est égal à donc .
Exercice 1-9
Le polynôme a-t-il une racine double ?
Non car les racines de sont et aucune des deux n'est racine de .
Exercice 1-10
Soit un polynôme non constant tel que .
- En donner des exemples.
- Si est une racine de , montrer que ou est une racine n-ième de 1 pour un certain n.
- , , ou des produits de tels polynômes.
- Si alors pour toute racine de , est aussi racine de et ainsi, est racine de pour tout . Comme n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers tels que , d'où ou .
Exercice 1-11
Calculer .
et donc par récurrence, (l'une ou l'autre de ces deux formes pouvant être utilisée pour la récurrence).
Autre méthode : et les racines de sont les complexes tels que pour un certain . Cela équivaut à et , donc à et . Le polynôme unitaire dont les racines sont simples et sont les racines -ièmes de l'unité sauf 1 est .
Exercice 1-12
Soit . Calculer et en déduire une factorisation de .
.
et donc et ce polynôme a forcément une racine multiple car s'il avait trois racines simples, aurait trois racines doubles, ce qui est exclu vu son degré.
et donc , avec donc .
Puisque 3 est racine double et 2 racine simple de , 3 est racine triple et 2 racine double de , donc (comme est unitaire et de degré 5) .