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Non car les racines de <math>P'(X)=3X^2+1</math> sont <math>\pm\frac{\mathrm i}\sqrt3</math> et aucune des deux n'est racine de <math>P</math>.
Non car les racines de <math>P'(X)=3X^2+1</math> sont <math>\pm\frac{\mathrm i}\sqrt3</math> et aucune des deux n'est racine de <math>P</math>.
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==Exercice 1-10==
Soit <math>P</math> un polynôme non constant tel que <math>P(X)\mid P(X^2)</math>.
#En donner des exemples.
#Si <math>\alpha</math> est une racine de <math>P</math>, montrer que <math>\alpha=0</math> ou <math>\alpha</math> est une racine ''n''-ième de 1 pour un certain ''n''.
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#<math>P(X)=X</math>, <math>P(X)=X^n-1</math>, ou des produits de tels polynômes.
#Si <math>P(X)\mid P(X^2)</math> alors pour toute racine <math>\alpha</math> de <math>P</math>, <math>\alpha^2</math> est aussi racine de <math>P</math> et ainsi, <math>\alpha^{2^k}</math> est racine de <math>P</math> pour tout <math>k\in\N</math>. Comme <math>P</math> n'a qu'un nombre fini de racines, cela implique qu'il existe deux entiers <math>i>j\ge0</math> tels que <math>\alpha^{2^i}=\alpha^{2^j}</math>, d'où <math>\alpha=0</math> ou <math>\alpha^{2^i-2^j}=1</math>.
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Version du 15 juin 2021 à 19:55

Racines de polynômes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Polynôme dérivé
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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-3

Soit . Montrer que :

  1. a une unique racine réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .

Exercice 1-4

Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Exercice 1-5

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

Exercice 1-6

Montrer que pour tout , est divisible par .

Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .

Exercice 1-7

Démontrer que pour tout ,

.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.

Remarque : de façon équivalente, .

Exercice 1-8

Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

.

Exercice 1-9

Le polynôme a-t-il une racine double ?

Exercice 1-10

Soit un polynôme non constant tel que .

  1. En donner des exemples.
  2. Si est une racine de , montrer que ou est une racine n-ième de 1 pour un certain n.