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*Pour d'autres formules de ce genre, voir [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques]].
*Pour d'autres formules de ce genre, voir [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques]].


== Exercice 1-8==
==Exercice 1-8==
Soit un polygone régulier de sommets <math>A_1,\dots,A_n</math> inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que
Soit un polygone régulier de sommets <math>A_1,\dots,A_n</math> inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que
:<math>A_1A_2\cdot A_1A_3\cdots A_1A_n=n</math>.
:<math>A_1A_2\cdot A_1A_3\cdots A_1A_n=n</math>.
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Le polynôme <math>P(X):=(X-\omega)(X-\omega^2)\dots(X-\omega^{n-1})</math> est égal à <math>\frac{X^n-1}{X-1}=1+X+\dots+X^{n-1}</math> donc <math>P(1)=n</math>.
Le polynôme <math>P(X):=(X-\omega)(X-\omega^2)\dots(X-\omega^{n-1})</math> est égal à <math>\frac{X^n-1}{X-1}=1+X+\dots+X^{n-1}</math> donc <math>P(1)=n</math>.
}}

==Exercice 1-9==
Le polynôme <math>P(X):=X^3+X+1</math> a-t-il une racine double ?
{{Solution|contenu=
Non car les racines de <math>P'(X)=3X^2+1</math> sont <math>\pm\frac{\mathrm i}\sqrt3</math> et aucune des deux n'est racine de <math>P</math>.
}}
}}



Version du 14 juin 2021 à 08:35

Racines de polynômes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Polynôme dérivé
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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-3

Soit . Montrer que :

  1. a une unique racine réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .

Exercice 1-4

Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Exercice 1-5

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

Exercice 1-6

Montrer que pour tout , est divisible par .

Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .

Exercice 1-7

Démontrer que pour tout ,

.

Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.

Remarque : de façon équivalente, .

Exercice 1-8

Soit un polygone régulier de sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Montrer que

.

Exercice 1-9

Le polynôme a-t-il une racine double ?