« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Le <math>m</math>-ième polynôme de Tchebychev <math>T_m</math> est de degré <math>m</math>, de coefficient dominant <math>2^{m-1}</math> et de terme constant <math>(-1)^{m/2}</math> si <math>m</math> est pair. <math>P</math> est donc de degré <math>2n</math>, de coefficient dominant <math>p_{2n}=2\times2^{2n-1}=4^n</math> et de terme constant <math>p_0=2(-1)^n+2(-1)^{n-1}+\dots+2(-1)+1=(-1)^n</math>. Le produit <math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math> de ses racines est bien égal à <math>(-1)^{2n}\frac{p_0}{p_{2n}}=\frac1{(-4)^n}</math>. |
Le <math>m</math>-ième polynôme de Tchebychev <math>T_m</math> est de degré <math>m</math>, de coefficient dominant <math>2^{m-1}</math> et de terme constant <math>(-1)^{m/2}</math> si <math>m</math> est pair. <math>P</math> est donc de degré <math>2n</math>, de coefficient dominant <math>p_{2n}=2\times2^{2n-1}=4^n</math> et de terme constant <math>p_0=2(-1)^n+2(-1)^{n-1}+\dots+2(-1)+1=(-1)^n</math>. Le produit <math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math> de ses racines est bien égal à <math>(-1)^{2n}\frac{p_0}{p_{2n}}=\frac1{(-4)^n}</math>. |
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Remarque : on en déduit immédiatement <math>\prod_{k=1}^n\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac1{2^n}</math>. |
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*Pour une autre méthode, voir [[Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6]] question 2 (dans le cas particulier <math>n=4</math>). |
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*Pour d'autres formules de ce genre, voir [[Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques]]. |
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Version du 12 juin 2021 à 12:57
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique racine réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .
Exercice 1-7
Démontrer que pour tout ,
- .
Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.
Les pour sont racines de .
Autrement dit, pour () : , où .
Le -ième polynôme de Tchebychev est de degré , de coefficient dominant et de terme constant si est pair. est donc de degré , de coefficient dominant et de terme constant . Le produit de ses racines est bien égal à .
Remarque : on en déduit immédiatement .
- Pour une autre méthode, voir Trigonométrie/Exercices/Relations trigonométriques 1#Exercice 10-6 question 2 (dans le cas particulier ).
- Pour d'autres formules de ce genre, voir Recherche:Polynômes annulateurs de nombres sous la forme cosinus ou tangente/Formules générales en relation avec les coefficients des polynômes minimaux trigonométriques.