« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
Balises : Modification par mobile Modification par le web mobile |
+1 |
||
Ligne 10 : | Ligne 10 : | ||
{{Clr}} |
{{Clr}} |
||
== Exercice 1-1 |
== Exercice 1-1 == |
||
Trouver tous les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>. |
Trouver tous les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>. |
||
Ligne 28 : | Ligne 28 : | ||
}} |
}} |
||
== Exercice 1-2 |
== Exercice 1-2 == |
||
Déterminer les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>. |
Déterminer les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>. |
||
{{Solution|contenu= |
{{Solution|contenu= |
||
Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\Complex[X]</math> tel que <math>X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, c |
Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\Complex[X]</math> tel que <math>X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, [[wikt:c.-à-d.|c.-à-d.]] <math>(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)</math>. |
||
De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\Complex[X]</math> tel que <math>(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c |
De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\Complex[X]</math> tel que <math>(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c.-à-d. <math>(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)</math>. |
||
Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\Complex[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>. |
Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\Complex[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>. |
||
Ligne 86 : | Ligne 86 : | ||
:<math>P_n(\mathrm j)=\left(-\mathrm j^2\right)^{6n+1}-\mathrm j^{6n+1}-1=-\mathrm j^2-\mathrm j-1=0</math>. |
:<math>P_n(\mathrm j)=\left(-\mathrm j^2\right)^{6n+1}-\mathrm j^{6n+1}-1=-\mathrm j^2-\mathrm j-1=0</math>. |
||
:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>. |
:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>. |
||
}} |
|||
== Exercice 1-7 == |
|||
Démontrer que pour tout <math>n\in\N^*</math>, |
|||
:<math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}=\frac1{(-4)^n}</math>. |
|||
Indication : on fera intervenir un polynôme de degré <math>4n</math> ayant pour racines les nombres complexes <math>\operatorname e^{\pm\mathrm i\frac{k\pi}{2n+1}}</math> pour <math>1\le k\le2n</math>, et l'on en déduira (à l'aide des [[Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11|polynômes de Tchebychev]]) un polynôme <math>P</math> de degré <math>2n</math> ayant pour racines les <math>\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math>. Une relation entre coefficients et racines de <math>P</math> permettra de conclure. |
|||
{{Solution|contenu= |
|||
Les <math>\operatorname e^{\pm\mathrm i\frac{k\pi}{2n+1}}</math> pour <math>1\le k\le2n</math> sont racines de <math>\frac{X^{2(2n+1)}-1}{X^2-1}=X^{4n}+X^{4n-2}+\dots+X^2+1=X^{2n}\left(X^{2n}+\frac1{X^{2n}}+X^{2n-2}+\frac1{X^{2n-2}}+\dots+X^2+\frac1{X^2}+1\right)</math>. |
|||
Autrement dit, pour <math>\theta=\frac{k\pi}{2n+1}</math> (<math>1\le k\le2n</math>) : <math>0=2\cos(2n\theta)+2\cos((2n-2)\theta)+\dots+2\cos(2\theta)+1=P(\cos\theta)</math>, où <math>P=2T_{2n}+2T_{2n-2}+\dots+2T_2+1</math>. |
|||
Le <math>m</math>-ième polynôme de Tchebychev <math>T_m</math> est de degré <math>m</math>, de coefficient dominant <math>2^{m-1}</math> et de terme constant <math>(-1)^{m/2}</math> si <math>m</math> est pair. <math>P</math> est donc de degré <math>2n</math>, de coefficient dominant <math>p_{2n}=2\times2^{2n-1}=4^n</math> et de terme constant <math>p_0=2(-1)^n+2(-1)^{n-1}+\dots+2(-1)+1=(-1)^n</math>. Le produit <math>\prod_{k=1}^{2n}\cos\frac{k\pi}{2n+1}</math> de ses racines est bien égal à <math>(-1)^{2n}\frac{p_0}{p_{2n}}=\frac1{(-4)^n}</math>. |
|||
}} |
}} |
||
Version du 12 juin 2021 à 12:30
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique racine réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .
Exercice 1-7
Démontrer que pour tout ,
- .
Indication : on fera intervenir un polynôme de degré ayant pour racines les nombres complexes pour , et l'on en déduira (à l'aide des polynômes de Tchebychev) un polynôme de degré ayant pour racines les . Une relation entre coefficients et racines de permettra de conclure.
Les pour sont racines de .
Autrement dit, pour () : , où .
Le -ième polynôme de Tchebychev est de degré , de coefficient dominant et de terme constant si est pair. est donc de degré , de coefficient dominant et de terme constant . Le produit de ses racines est bien égal à .