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===Sous-espaces d'un espace symplectique===
===Sous-espaces d'un espace symplectique===


{{Définition|contenu=
L''''orthogonal''' d'un sous-espace ''W'' d'un espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> est défini par :
L’'''orthogonal''' d'un sous-espace ''W'' d'un espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> est défini par :
<center><math>W^{o}=\{v\in V, \forall w\in V, \omega(v,w)=0\}</math>.</center>
<center><math>W^{o}=\{v\in V, \forall w\in V, \omega(v,w)=0\}</math>.</center>
L'orthogonal n'est pas nécessairement un sous-espace supplémentaire. Par exemple, l'orthogonal d'une droite vectorielle la contient. Cependant,
L'orthogonal n'est pas nécessairement un sous-espace supplémentaire. Par exemple, l'orthogonal d'une droite vectorielle la contient.
}}


{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=


Pour tous sous-espaces ''W''<sub>1</sub> et ''W''<sub>2</sub> d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :
Pour tous sous-espaces ''W''<sub>1</sub> et ''W''<sub>2</sub> d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :
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:* (Involution) <math>(W_1^o)^o=W_1</math> ;
:* (Involution) <math>(W_1^o)^o=W_1</math> ;
:* Identité des dimensions : <math>\dim W+\dim W^{o}=\dim V</math>.
:* Identité des dimensions : <math>\dim W+\dim W^{o}=\dim V</math>.
}}


On a ainsi plusieurs cas particuliers :


{{Définition|titre=Définitions|contenu=
Un sous-espace vectoriel ''W'' d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math> est dit :
* '''isotropique''' lorsque ''W'' est contenu dans son orthogonal ;
* '''lagrangien''' lorsque ''W'' est égal à son orthogonal ;
* '''coistotropique''' lorsque ''W'' contient son orthogonal.

En particulier, ''W'' est '''lagrangien''' si et seulement s'il est '''isotropique et coisotropique.'''
}}


{{Début cadre|rouge}}
:'''Un sous-espace vectoriel ''W'' d'une epsace symplectique <math>(V,\omega)</math> est appelé :'''
:* '''''isotropique'' lorsque ''W'' est contenu dans son orthogonal ;'''
:* '''''lagrangien'' lorsque ''W'' est égal à son orthogonal ;'''
:* '''''coistotropique'' lorsque ''W'' contient son orthogonal.'''
:'''En particulier, ''W'' est lagrangien ssi il est isotropique et coisotropique.'''
{{Fin cadre}}


L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.
L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.


{{Exemple|titre=Exemple 5|contenu=
:'''Exemple 5 :''' Si <math>(E,\omega)</math> est un espace vectoriel symplectique, l'espace <math>V=E\oplus E</math> est muni de la forme symplectique <math>\omega\oplus-\omega</math>. Le graphe d'une application linéaire <math>T:E\rightarrow E</math> est un sous-espace lagrangien ssi ''T'' est symplectique.
Si <math>(E,\omega)</math> est un espace vectoriel symplectique, l'espace <math>V=E\oplus E</math> est muni de la forme symplectique <math>\omega\oplus-\omega</math>. Le graphe d'une application linéaire <math>T:E\rightarrow E</math> est un sous-espace lagrangien ssi ''T'' est symplectique.
}}


===Réduction symplectique===
===Réduction symplectique===

Version du 22 août 2007 à 20:11

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Définitions élémentaires
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Chapitre no {{{numéro}}}
Leçon : Géométrie symplectique
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Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire
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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la géométrie euclidienne, la géométrie riemannienne, et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.

Rappels d'algèbre linéaire


Espace vectoriel symplectique


La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de est nul, ou encore, que réalise un isomorphisme linéaire .

Remarque : L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de V soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.


En particulier, les transformations canoniques d'un espace symplectique dans lui-même forment un sous-groupe du groupe des isomorphismes linéaires de V, noté . On reviendra sur l'étude de ce groupe.

L'exemple suivant est fondamental :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.

Classification

Rappelons le résultat suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique . Comme est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base avec 2k la dimension de V. On en déduit que :

La dimension d'un espace symplectique est paire.

De plus, L'application qui à v associe ses coordonnées dans la base est visiblement symplectique pour la forme symplectique usuelle sur . D'où :

En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.

Exemples

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Structure complexe

En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur V muni d'une structure complexe.

Une structure complexe (ou structure complexe linéaire) sur un espace vectoriel réel V est la réalisation de V comme espace vectoriel complexe. Elle est déterminée par la seule action de i, donnée par un endomorphisme réel J de V vérifiant :

Remarque : La structure complexe J est inversible et est une racine carrée de J.

Si v est muni d'une forme symplectique , une structure complexe J est appelée -compatible lorsque :
  • J est un isomorphisme symplectique, ce qui équivaut à ce que définisse une forme bilinéaire symétrique ;
  • et est définie positive.
En particulier, est un produit euclidien sur V ; et est un produit hermitien sur l'espace vectoriel complexe .


Pour tout espace vectoriel symplectique il existe une structure presque complexe -compatible.
De plus, l'nsemble I(V) des structures complexes -compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes et agissent transitivement sur I(V) par conjugaison.

Note : Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de I(V) sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.

Exemple 4 bis : La multilication par i sur un espace hermitien est une isométrie J, et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de . On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par et est . En particulier, elle est non dégénérées, et donc J est -compatible. La forme hermitienne h n'est autre que la forme hermitienne associée à .


Exemple 3 bis : L'espace vectoriel est muni d'une structure presque complexe naturelle . Si E est munie d'un produit euclidien g, alors J est compatible, et le produit euclidien associé est précisément .

Sous-espaces d'un espace symplectique



On a ainsi plusieurs cas particuliers :



L'orthogonal d'un hyperplan H est une droite D. L'orthogonal de D, à savoir H, doit contenir D. Autrement dit, l'orthogonal de H est contenu dans H : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Réduction symplectique

Si W est un sous-espace coisotropique de V, alors induit une forme symplectique sur l'espace quotient .