« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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{{Proposition|contenu=
<math>f</math> est continue au point <math>a</math> si et seulement si l'[[Application (mathématiques)/Définitions#Image directe, image réciproque d’une partie par une application|image réciproque]] par <math>f</math> de tout voisinage de <math>f(a)</math> est un voisinage de <math>a</math> :
:<math>\forall V\in \mathcal{ V}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in\mathcal{ V}(a)</math>.
}}
 
{{Corollaire|contenu=
<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in\mathcal{V}(a)</math>.
Si <math>f</math> est continue au point <math>a</math> et <math>g</math> est continue au point <math>f(a)</math>, alors <math>g\circ f</math> est continue au point <math>a</math>.}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Soit <math>b=f(a)</math>. Pour tout <math>W\in\mathcal V((g\circ f)(a))=\mathcal V(g(b))</math>, on a <math>V:=g^{-1}(W)\in\mathcal V(b)=\mathcal V(f(a))</math> donc <math>(g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(V)\in\mathcal V(a)</math>.
}}
 
{{Exemple|contenu=
L'application <math>\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto\begin{cases}\frac{\sin\left(x^2+y^2\right)}{x^2+y^2}&\text{si }(x,y)\ne(0,0)\\1&\text{si }(x,y)=(0,0)\end{cases}</math> est continue au point <math>(0,0)</math> car égale à <math>g\circ f</math>, avec <math>\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto x^2+y^2</math> continue au point <math>(0,0)</math> et <math>g:\R\to\R,\;t\mapsto\begin{cases}\frac{\sin t}t&\text{si }t\ne0\\1&\text{si }t=0\end{cases}</math> continue au point <math>f(0,0)=0</math>.
}}
 
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