« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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== Exercice 1-3 ==
== Exercice 1-3 ==
Soit <math>P(X)=X^3-X+1</math>. Montrer que :
Soit <math>P(X)=X^3-X+1</math>. Montrer que :
#<math>P</math> a une unique réelle <math>\alpha</math> ;
#<math>P</math> a une unique racine réelle <math>\alpha</math> ;
#<math>\alpha<-1</math>.
#<math>\alpha<-1</math>.
#Soient <math>\beta,\gamma\in\Complex</math> les deux autres racines de <math>P</math>. Exprimer <math>\beta+\gamma</math> et <math>\beta\gamma</math> en fonction de <math>\alpha</math>.
#Soient <math>\beta,\gamma\in\Complex</math> les deux autres racines de <math>P</math>. Exprimer <math>\beta+\gamma</math> et <math>\beta\gamma</math> en fonction de <math>\alpha</math>.

Version du 20 février 2020 à 11:54

Racines de polynômes
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Racines d’un polynôme

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Polynôme dérivé
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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-3

Soit . Montrer que :

  1. a une unique racine réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .

Exercice 1-4

Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Dix-septième problème de Hilbert ».

Exercice 1-5

Soient .

Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .

Exercice 1-6

Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .