« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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== Exercice 1-3 == |
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Soit <math>P(X)=X^3-X+1</math>. Montrer que : |
Soit <math>P(X)=X^3-X+1</math>. Montrer que : |
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#<math>P</math> a une unique réelle <math>\alpha</math> ; |
#<math>P</math> a une unique racine réelle <math>\alpha</math> ; |
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#<math>\alpha<-1</math>. |
#<math>\alpha<-1</math>. |
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#Soient <math>\beta,\gamma\in\Complex</math> les deux autres racines de <math>P</math>. Exprimer <math>\beta+\gamma</math> et <math>\beta\gamma</math> en fonction de <math>\alpha</math>. |
#Soient <math>\beta,\gamma\in\Complex</math> les deux autres racines de <math>P</math>. Exprimer <math>\beta+\gamma</math> et <math>\beta\gamma</math> en fonction de <math>\alpha</math>. |
Version du 20 février 2020 à 11:54
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c'est-à-dire .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c'est-à-dire .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique racine réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .