« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions
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Soient ''E'' et ''F'' deux e.v.n. et ''A'' (resp. ''B'') une partie compacte de ''E'' (resp. ''F''). Alors : |
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*l'espace métrique ''A'' est [[Topologie générale/Complétude|complet]] ; |
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Version du 11 septembre 2019 à 08:54
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.
Définitions
Soient une partie de et une famille de parties de .
On dit que est un recouvrement de si .
Il est dit ouvert si tous les sont ouverts.
Un sous-recouvrement de est une sous-famille () qui est encore un recouvrement de .
Il est dit fini si est fini.
- Remarque
- On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.
On dit qu'une partie A de E est compacte si pour tout recouvrement ouvert de A, il existe un sous-recouvrement fini.
Premières propriétés
- Toute partie compacte de E est fermée.
- Soit A une partie compacte de E. Toute partie fermée de A est compacte.
- Toute union finie de parties compactes de E est compacte.
- Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de E est compacte.
Voir Topologie générale/Compacité#Premières propriétés ou Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1.
Valeurs d'adhérence
Soit une suite de E.
On dit qu'un élément est une valeur d'adhérence de si tout voisinage de contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : .
Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :
Soit une suite de E.
Un élément est une valeur d'adhérence de si et seulement s'il existe une suite extraite qui converge vers .
Rappelons que si une suite converge vers alors toutes ses sous-suites convergent vers . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), est alors son unique valeur d'adhérence.
Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :
Une partie A de E est compacte si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans A.
Exemples d'applications :
Soient E et F deux e.v.n. et A (resp. B) une partie compacte de E (resp. F). Alors :
- l'espace métrique A est complet ;
- A×B est une partie compacte de E×F.
Compacité et applications continues
Soient E et F deux e.v.n., A une partie compacte de E, et f : A → F une application continue.
Alors, f(A) est une partie compacte de F.
Parties bornées