Espaces vectoriels normés/Compacité

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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.

Définitions

Définition : recouvrement ouvert, sous-recouvrement

Soient $A$ une partie de $E$ et $(O_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$.

On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$.

Il est dit ouvert si tous les $O_{i}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous-famille $(O_{i})_{i\in J}$ ($J\subset I$) qui est encore un recouvrement de $A$.

Il est dit fini si $J$ est fini.

Remarque

On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Définition : partie compacte

On dit qu'une partie A de E est compacte si pour tout recouvrement ouvert de A, il existe un sous-recouvrement fini.

Premières propriétés

Proposition

• Toute partie compacte de E est fermée.
• Soit A une partie compacte de E. Toute partie fermée de A est compacte.
• Toute union finie de parties compactes de E est compacte.
• Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de E est compacte.

Démonstration

Voir Topologie générale/Compacité#Premières propriétés ou Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1.

 

Valeurs d'adhérence

Définition : valeur d'adhérence

Soit $(u_{n})$ une suite de E.

On dit qu'un élément $a\in E$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si tout voisinage $V$ de $a$ contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : $\forall N\in \mathbb {N} \quad \exists n\geq N\quad x_{n}\in V$.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :

Proposition : lien entre valeurs d'adhérence et sous-suites

Soit $(u_{n})$ une suite de E.

Un élément $a\in E$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si et seulement s'il existe une suite extraite $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ qui converge vers $a$.

Rappelons que si une suite converge vers $a$ alors toutes ses sous-suites convergent vers $a$. Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), $a$ est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Début d’un théorème

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Une partie A de E est compacte si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans A.

Fin du théorème

Exemple d'application :

Proposition

Soient E et F deux e.v.n. et A (resp. B) une partie compacte de E (resp. F). Alors, A×B est une partie compacte de E×F.

Compacité et applications continues

Début d’un théorème

Théorème

Soient E et F deux e.v.n., A une partie compacte de E, et f : A → F une application continue.

Alors, f(A) est une partie compacte de F.

Fin du théorème

Parties bornées

Début d’un théorème

Théorème

Toute partie compacte d'un e.v.n. est (précompacte donc) bornée.

Fin du théorème