« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

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**Compacité**
Leçon : Espaces vectoriels normés

Chapitre n^o 3
Chap. préc. :	Limites et continuité
Chap. suiv. :	Connexité

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espaces vectoriels normés : Compacité
Espaces vectoriels normés/Compacité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.

Définitions

Définition : recouvrement ouvert, sous-recouvrement.

Soient $A$ une partie de $E$ et $(O_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$ .

On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$ .

Il est dit ouvert si tous les $O_{i}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous-famille $(O_{i})_{i\in J}$ ( $J\subset I$ ) qui est encore un recouvrement de $A$ .

Il est dit fini si $J$ est fini.

Remarque: On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Définition : partie compacte.

On dit qu'une partie A de E est compacte si pour tout recouvrement ouvert de A, il existe un sous-recouvrement fini.

Premières propriétés

Proposition

Toute partie compacte de E est fermée.
Soit A une partie compacte de E. Toute partie fermée de A est compacte.
Toute union finie de parties compactes de E est compacte.
Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de E est compacte.

Démonstration

Voir Topologie générale/Compacité#Premières propriétés ou Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1.

Valeurs d'adhérence

Définition : valeur d'adhérence

Soit $(u_{n})$ une suite de E.

On dit qu'un élément $a\in E$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si tout voisinage $V$ de $a$ contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : $\forall N\in \mathbb {N} \quad \exists n\geq N\quad x_{n}\in V$ .

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :

Proposition : lien entre valeurs d'adhérence et sous-suites

Soit $(u_{n})$ une suite de E.

Un élément $a\in E$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si et seulement s'il existe une suite extraite $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ qui converge vers $a$ .

Rappelons que si une suite converge vers $a$ alors toutes ses sous-suites convergent vers $a$ . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), $a$ est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Une partie A de E est compacte si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans A.

Exemple d'application :

Proposition

Soient E et F deux e.v.n. et A (resp. B) une partie compacte de E (resp. F). Alors, A×B est une partie compacte de E×F.

Compacité et applications continues

Théorème

Soient E et F deux e.v.n., A une partie compacte de E, et f : A → F une application continue.

Alors, f(A) est une partie compacte de F.

Parties bornées

Théorème

Toute partie compacte d'un e.v.n. est (précompacte donc) bornée.

Espaces vectoriels normés

Limites et continuité

Connexité

@@ Ligne 9 : / Ligne 9 : @@
 Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
-Dans toute la suite, <math>E</math> est un <math>\R</math>-espace vectoriel normé.
+Dans toute la suite, ''E'' est un ℝ-espace vectoriel normé.
 {{clr}}
-== Compacité ==
-=== Définitions ===
+== Définitions ==
 {{Définition
-| titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
+| titre = Définition : recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
 |contenu =
 Soient <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>(O_i)_{i\in I}</math> une [[Application (mathématiques)/Famille|famille]] de parties de <math>E</math>.
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 :On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.
 {{Définition
-| titre = Définition : Partie compacte.
+| titre = Définition : partie compacte.
 | contenu =
-Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est '''compacte''' si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini.
+On dit qu'une partie ''A'' de ''E'' est '''compacte''' si pour tout recouvrement ouvert de ''A'', il existe un sous-recouvrement fini.
 }}
-{{Proposition
-|contenu =
-Toute partie compacte de <math>E</math> est fermée.
-}}
-{{Démonstration déroulante
-|contenu =
-Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math> ; montrons que <math>A</math> est fermé, c.-à-d.que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de tout point <math>x\in E\setminus A</math>.
-Pour tout <math>y\in A</math>, on peut trouver deux boules ouvertes disjointes, <math>B_y</math> contenant <math>y</math> et <math>B_y'</math> contenant <math>x</math>.
-Ainsi, <math>(B_y)_{y\in A}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(B_y)_{y\in J}</math>.
-On a alors <math>x\in O':=\cap_{y\in J} B_y'</math> qui est un ouvert car <math>J</math> est fini.
-De plus, <math>O'</math> est disjoint de l'ouvert <math>O:=\cup_{y\in J}B_y</math>. On en déduit que <math>O'\subset E\setminus A</math> car <math>A\subset O</math>.
-Ceci termine de montrer que <math>E\setminus A</math> est un voisinage de <math>x</math>.
-}}
+==Premières propriétés==
 {{Proposition
 |contenu =
-Soit <math>A</math> une partie compacte de <math>E</math>. Toute partie fermée de <math>A</math> est compacte.
+*Toute partie compacte de ''E'' est fermée.
+*Soit ''A'' une partie compacte de ''E''. Toute partie fermée de ''A'' est compacte.
+*Toute union finie de parties compactes de ''E'' est compacte.
+*Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de ''E'' est compacte.
 }}
+{{Démonstration déroulante|contenu=Voir [[Topologie générale/Compacité#Premières propriétés]] ou [[Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1]].
-{{Démonstration déroulante
-|contenu=
-Soit <math>B</math> une partie fermée de <math>A</math> et soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>B</math>. En lui adjoignant l'ouvert <math>E\setminus B</math>, on obtient un recouvrement ouvert de <math>A</math>.
-Puisque <math>A</math> est compact, il existe alors une partie finie <math>J</math> de <math>I</math> telle que <math>A\subset\left(E\setminus B\right)\cup\cup_{i\in J}O_i</math>, si bien que <math>B\subset\cup_{i\in J}O_i</math>.
-}}
-{{Proposition
-| contenu=
-#Toute union finie de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
-#Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de <math>E</math> est compacte.
-}}
-{{Démonstration déroulante
-|contenu =
-#Soient <math>A_1,\cdots,A_N</math> des parties compactes de <math>E</math> et <math>A</math> leur réunion.<br>Soit <math>(O_i)_{i\in I}</math> un recouvrement ouvert de <math>A</math>. Alors, pour tout <math>1\le k\le N</math>, <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement ouvert de <math>A_k</math>, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini <math>(O_i)_{i\in J_k}</math>.<br>L'ensemble <math>J:=\cup_{k=1}^NJ_k</math> est alors fini, et <math>(O_i)_{i\in J}</math> est un recouvrement de <math>A</math>.
-#Soient <math>\left(B_t\right)_{t\in T}</math> une famille non vide de parties compactes de <math>E</math>, <math>B:=\cap_{t\in T}B_t</math> et <math>t_0\in T</math>. On sait que tous les <math>B_t</math> sont fermés, et donc <math>B</math> est fermé.<br>Or <math>B\subset B_{t_0}</math>. C'est donc un compact, comme partie fermée d'un compact.
 }}
-===Valeurs d'adhérence ===
+==Valeurs d'adhérence ==
 {{Définition
 |titre = Définition : valeur d'adhérence
 |contenu =
-Soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
+Soit <math>(u_n)</math> une suite de ''E''.
 On dit qu'un élément <math>a\in E</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n\ge N\quad x_n\in V</math>.
@@ Ligne 90 : / Ligne 59 : @@
 {{Proposition|titre=Proposition : [[Topologie générale/Espace métrique#Topologie|lien entre valeurs d'adhérence et sous-suites]]
 |contenu =
-Soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
+Soit <math>(u_n)</math> une suite de ''E''.
 Un élément <math>a\in E</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement s'il existe une [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]] <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>.
@@ Ligne 101 : / Ligne 70 : @@
 |titre =[[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|Théorème de Bolzano-Weierstrass]]
 |contenu =
-Une partie <math>A</math> de <math>E</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence dans <math>A</math>.
+Une partie ''A'' de ''E'' est compacte si et seulement si toute suite de ''A'' admet une valeur d'adhérence dans ''A''.
 }}
@@ Ligne 107 : / Ligne 76 : @@
 {{Proposition
 |contenu =
-:Soient <math>E,\ F</math> deux e.v.n. et <math>A</math> (resp. <math>B</math>) une partie compacte de <math>E</math> (resp. <math>F</math>). Alors, <math>A\times B</math> est une partie compacte de <math>E\times F</math>.
+:Soient ''E'' et ''F'' deux e.v.n. et ''A'' (resp. ''B'') une partie compacte de ''E'' (resp. ''F''). Alors, ''A''×''B'' est une partie compacte de ''E''×''F''.
 }}
-=== Compacité et applications continues ===
+== Compacité et applications continues ==
+{{Théorème|contenu=
+Soient ''E'' et ''F'' deux e.v.n., ''A'' une partie compacte de ''E'', et ''f'' : ''A'' → ''F'' une application continue.
+Alors, [[Topologie générale/Compacité#Compacité et applications continues|''f''(''A'') est une partie compacte]] de ''F''.
-== Parties bornées==
+}}
-===Diamètre d'une partie ===
-===Parties bornées et compacité ===
+== Parties bornées==
+{{Théorème|contenu=Toute partie compacte d'un e.v.n. [[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|est (précompacte donc) bornée]].}}
 {{Bas de page