« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

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===Valeurs d'adhérence ===
===Valeurs d'adhérence ===
{{Définition
{{Définition
|titre = Définition : Suite extraite, Valeur d'adhérence
|titre = Définition : valeur d'adhérence
|contenu =
|contenu =
Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
Soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.

*On dit que <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> est une '''[[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]]''' de <math>(u_n)_{n\in \N}</math> si la suite <math>(n_k)</math> est à valeurs dans <math>\N</math> et strictement croissante.
*On dit que <math>a</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> s'il existe une suite extraite <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>.
On dit qu'un élément <math>a\in E</math> est une '''valeur d'adhérence''' de <math>(u_n)</math> si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n\ge N\quad x_n\in V</math>.
}}
}}

{{Proposition
Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]], on a :

{{Proposition|titre=Proposition : [[Topologie générale/Espace métrique#Topologie|lien entre valeurs d'adhérence et sous-suites]]
|contenu =
|contenu =
Soit <math>a\in E</math> et <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.
Soit <math>(u_n)</math> une suite de <math>E</math>.

#<math>a</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement si tout voisinage <math>V</math> de <math>a</math> contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : <math>\forall N\in\N\quad\exist n>N\quad x_n\in V</math>.
#<math>(u_n)</math> converge vers <math>a</math> (si et) seulement si toutes ses suites extraites convergent vers <math>a</math>.<br>En particulier, si une suite converge alors sa limite est son unique valeur d'adhérence.
Un élément <math>a\in E</math> est une valeur d'adhérence de <math>(u_n)</math> si et seulement s'il existe une [[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|suite extraite]] <math>(u_{n_k})_{k\in \N}</math> qui converge vers <math>a</math>.
}}
}}


Rappelons que si une suite converge vers <math>a</math> alors toutes ses sous-suites convergent vers <math>a</math>. Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), <math>a</math> est alors son unique valeur d'adhérence.
{{Proposition

|titre = Proposition : caractérisation séquentielle de la compacité
Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :
{{Théorème
|titre =[[Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts|Théorème de Bolzano-Weierstrass]]
|contenu =
|contenu =
:Soit <math>A\subset E</math>. <math>A</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence <math>a\in A</math>.
Une partie <math>A</math> de <math>E</math> est compacte si et seulement si toute suite de <math>A</math> admet une valeur d'adhérence dans <math>A</math>.
}}
}}

Exemple d'application :
Exemple d'application :
{{Proposition
{{Proposition

Version du 9 septembre 2019 à 08:00

Début de la boite de navigation du chapitre
Compacité
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Connexité
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espaces vectoriels normés : Compacité
Espaces vectoriels normés/Compacité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, est un -espace vectoriel normé.

Compacité

Définitions

Remarque
On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.



Valeurs d'adhérence


Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :


Rappelons que si une suite converge vers alors toutes ses sous-suites convergent vers . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemple d'application :


Compacité et applications continues

Parties bornées

Diamètre d'une partie

Parties bornées et compacité