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{{Exemple|contenu=1 ⇒ 2 (resp. 1 ⇒ 3) est souvent utile pour démontrer qu'une partie est ouverte (resp. fermée). Par exemple, tout [[w:Hyperplan#Hyperplans affines|hyperplan affine]] de <math>\R^n</math> est de la forme <math>H=\{x\in\R^n\mid f(x)=c\}</math> avec <math>c\in\R</math> et <math>f\ne0</math> [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]] sur <math>\R^n</math> ([[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Espaces vectoriels normés de dimension finie|nécessairement continue]]), donc <math>H</math> est un fermé de <math>\R^n</math>.
{{Exemple|contenu=1 ⇒ 2 (resp. 1 ⇒ 3) est souvent utile pour démontrer :
*qu'une partie est ouverte (resp. fermée). Par exemple, tout [[w:Hyperplan#Hyperplans affines|hyperplan affine]] de <math>\R^n</math> est de la forme <math>H=\{x\in\R^n\mid f(x)=c\}</math> avec <math>c\in\R</math> et <math>f\ne0</math> [[Application linéaire/Définitions#Applications linéaires particulières|forme linéaire]] sur <math>\R^n</math> ([[Espaces vectoriels normés/Dimension finie#Espaces vectoriels normés de dimension finie|nécessairement continue]]), donc <math>H</math> est un fermé de <math>\R^n</math> ;
*qu'elle ne l'est pas. Par exemple dans <math>\R^2</math>, <math>A:=\{(x,y)\in\R^2\mid|x|=1,|y|\ne1\}</math><!--

et <math>B:=\{(x,y)\in\R^2\mid|x|<1,|xy|=1\}</math> ne sont ni ouverts, ni fermés car dans <math>\R</math>, <math>[x\mapsto(x,0)]^{-1}(A)=\{-1,1\}</math> et ? ne sont pas ouverts et <math>[y\mapsto(1,y)]^{-1}(A)=\R\setminus\{-1,1\}</math> et ? ne sont pas fermés.

--> n'est ni ouvert, ni fermé car dans <math>\R</math>, <math>[x\mapsto(x,0)]^{-1}(A)=\{-1,1\}</math> n'est pas ouvert et <math>[y\mapsto(1,y)]^{-1}(A)=\R\setminus\{-1,1\}</math> n'est pas fermé.
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Version du 4 septembre 2019 à 21:54

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Continuité et homéomorphismes
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Chapitre no 7
Leçon : Topologie générale
Chap. préc. :Dénombrabilité
Chap. suiv. :Suites
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Topologie générale/Continuité et homéomorphismes
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descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Continuité ».

Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon ! La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.

Limite



Continuité en un point



Continuité globale

Soient et deux espaces topologiques et une application.




Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Continuité et espaces produits

Caractérisation séquentielle

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Espace à bases dénombrables de voisinages ».

Si tout point de admet une base de voisinages (finie ou) dénombrable — en particulier si est un espace métrique — on dispose de caractérisations plus intuitives de l'adhérence et de la continuité :