« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions

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→‎Compacité : Premières définitions
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== Compacité ==
== Compacité ==
=== Définitions ===
=== Définitions ===

{{Définition
| titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
|contenu =
Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>. Il est dit ouvert si <math>\forall i \in I,\ O_i</math> est ouvert. Un sous-recouvrement de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous famille de <math>(O_i)_{i\in I}</math> qui est encore un recouvrement de <math>A</math>
}}
;Remarque :
*On définit de même des recouvrements fermés, bornées, etc...
{{Définition
| titre = Définition : Partie compacte.
| contenu =
Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini <math>(O_j)_{j\in J}</math> avec <math>J</math> une partie finie de <math>I</math>.
}}

===Valeurs d'adhérence ===


=== Compacité et applications continues ===
=== Compacité et applications continues ===

Version du 11 août 2019 à 14:04

Début de la boite de navigation du chapitre
Compacité
Icône de la faculté
Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Espaces vectoriels normés/Connexité
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Espaces vectoriels normés : Compacité
Espaces vectoriels normés/Compacité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Compacité

Définitions

Remarque
  • On définit de même des recouvrements fermés, bornées, etc...


Valeurs d'adhérence

Compacité et applications continues

Parties bornées

Diamètre d'une partie

Parties bornées et compacité