« Espaces vectoriels normés/Compacité » : différence entre les versions
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→Compacité : Premières définitions |
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== Compacité == |
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=== Définitions === |
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{{Définition |
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| titre = Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement. |
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|contenu = |
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Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>(O_i)_{i\in I}</math> est un recouvrement de <math>A</math> si <math>A\subset \cup_{i\in I} O_i</math>. Il est dit ouvert si <math>\forall i \in I,\ O_i</math> est ouvert. Un sous-recouvrement de <math>(O_i)_{i\in I}</math> est une sous famille de <math>(O_i)_{i\in I}</math> qui est encore un recouvrement de <math>A</math> |
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;Remarque : |
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*On définit de même des recouvrements fermés, bornées, etc... |
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{{Définition |
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| titre = Définition : Partie compacte. |
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| contenu = |
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Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math>. On dit que <math>A</math> est compacte si pour tout recouvrement ouvert <math>(O_i)_{i\in I}</math>, il existe un sous-recouvrement fini <math>(O_j)_{j\in J}</math> avec <math>J</math> une partie finie de <math>I</math>. |
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===Valeurs d'adhérence === |
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=== Compacité et applications continues === |
=== Compacité et applications continues === |
Version du 11 août 2019 à 14:04
Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.
Compacité
Définitions
Définition : Recouvrement ouvert, sous-recouvrement.
Soit une partie de . On dit que est un recouvrement de si . Il est dit ouvert si est ouvert. Un sous-recouvrement de est une sous famille de qui est encore un recouvrement de
- Remarque
- On définit de même des recouvrements fermés, bornées, etc...
Définition : Partie compacte.
Soit une partie de . On dit que est compacte si pour tout recouvrement ouvert , il existe un sous-recouvrement fini avec une partie finie de .