Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

Exercice 3-1

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Montrer que son exponentielle est un polynôme en $A$ ou plus généralement, que $f(A)\in \mathbb {C} [A]$ pour toute fonction $f$ d'une variable complexe développable en série entière en $0$, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de $A$ (pour une norme arbitraire fixée sur $\mathbb {C} ^{n}$).

Solution

Par définition, $f(A)$ est une limite de polynômes en $A$ (les sommes partielles de la série entière). Puisque $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ est de dimension finie, le sous-espace vectoriel $\mathbb {C} [A]$ est fermé.

 

Exercice 3-2 : densité de GL_n

Soit $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$. Démontrer que dans $\mathrm {M} _{n}(K)$ (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble $\mathrm {GL} _{n}(K)$ des matrices inversibles est dense.

Solution

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout entier $k>N$, $A-{\frac {1}{k}}\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {GL} _{n}(K)$, ce qui prouve que $A$ est adhérent à $\mathrm {GL} _{n}(K)$.

 

Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue

Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ une application continue, admettant à l'infini une limite $L$ (finie ou infinie) :

$\lim _{\|x\|\to +\infty }f(x)=L\in \left[-\infty ,+\infty \right]$.

On pose $m:=\inf \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left[-\infty ,+\infty \right[$ et $M:=\sup \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left]-\infty ,+\infty \right]$ (donc $m\leq L\leq M$).

1. Montrer que si $m<L$, alors la valeur $m$ est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
2. En déduire que (sans cette hypothèse) $f$ admet un extremum.
3. En déduire également que si $L$ est finie, alors $f$ est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)

Solution

1. Soit $m'$ strictement compris entre $m$ et $L$. Puisque $m'<L$, on a $f(x)\geq m'$ pour tout $x\in \mathbb {R} ^{n}$ de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel $R$. Puisque $m'>m$, $m$ est aussi la borne inférieure de $f$ restreinte à la boule fermée ${\overline {B}}(0,R)$. Puisque cette boule est compacte et que $f$ est continue, cette borne inférieure est atteinte.
2. Si $m<L$ alors $f$ a un minimum. De même, si $M>L$ alors $f$ a un maximum (en raisonnant sur $-f$). Enfin, si $m=M$ alors $f$ est constante.
3. D'après la question 1, si $m<L$ alors $m>-\infty$. Si $m=L$ (supposée finie), on a aussi $m>-\infty$. Donc $f$ est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant $f$ par $-f$) que $f$ est majorée.