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**Dimension finie**
Leçon : Espaces vectoriels normés

Exercices n^o3

Exercices de niveau 15.
Exo préc. :	Applications linéaires continues
Exo suiv. :	Sommaire

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dimension finie
Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice 3-1

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ . Montrer que son exponentielle est un polynôme en $A$ ou plus généralement, que $f(A)\in \mathbb {C} [A]$ pour toute fonction $f$ d'une variable complexe développable en série entière en $0$ , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de $A$ (pour une norme arbitraire fixée sur $\mathbb {C} ^{n}$ ).

Solution

Par définition, $f(A)$ est une limite de polynômes en $A$ (les sommes partielles de la série entière). Puisque $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ est de dimension finie, le sous-espace vectoriel $\mathbb {C} [A]$ est fermé.

Exercice 3-2 : Densité de GL_n

Soit $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ . Démontrer que dans $\mathrm {M} _{n}(K)$ (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble $\mathrm {GL} _{n}(K)$ des matrices inversibles est dense.

Solution

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$ . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout entier $k>N$ , $A-{\frac {1}{k}}\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {GL} _{n}(K)$ , ce qui prouve que $A$ est adhérent à $\mathrm {GL} _{n}(K)$ .

Exercice 3-3 : Extrema d'une fonction continue

Soit $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ une application continue, admettant à l'infini une limite $L$ (finie ou infinie) :

\lim _{\|x\|\to +\infty }f(x)=L\in \left[-\infty ,+\infty \right]

.

On pose $m:=\inf \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left[-\infty ,+\infty \right[$ et $M:=\sup \left(\operatorname {Im} f\right)\in \left]-\infty ,+\infty \right]$ (donc $m\leq L\leq M$ ).

Montrer que si $m<L$ , alors la valeur $m$ est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
En déduire que (sans cette hypothèse) $f$ admet un extremum.
En déduire également que si $L$ est finie, alors $f$ est bornée.

(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)

Solution

Soit $m'$ strictement compris entre $m$ et $L$ . Puisque $m'<L$ , on a $f(x)\geq m'$ pour tout $x\in \mathbb {R} ^{n}$ de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel $R$ . Puisque $m'>m$ , $m$ est aussi la borne inférieure de $f$ restreinte à la boule fermée ${\overline {B}}(0,R)$ . Puisque cette boule est compacte et que $f$ est continue, cette borne inférieure est atteinte.
Si $m<L$ alors $f$ a un minimum. De même, si $M>L$ alors $f$ a un maximum (en raisonnant sur $-f$ ). Enfin, si $m=M$ alors $f$ est constante.
D'après la question 1, si $m<L$ alors $m>-\infty$ . Si $m=L$ (supposée finie), on a aussi $m>-\infty$ . Donc $f$ est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant $f$ par $-f$ ) que $f$ est majorée.

Espaces vectoriels normés

Applications linéaires continues

Sommaire

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 {{Clr}}
-== Exercice 2-1==
+== Exercice 3-1==
 Soit <math>A\in\operatorname M_n(\Complex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\Complex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\Complex^n</math>).
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 }}
-== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
+== Exercice 3-2 : Densité de GL{{ind|''n''}}==
 Soit <math>K=\R</math> ou <math>\Complex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
 {{Solution|contenu=
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 }}
-== Exercice 2-3 : quelques normes sur <math>\R^2</math>==
-#Représenter graphiquement les boules unité de <math>\R^2</math> muni respectivement des normes
-#:<math>\|(x,y)\|_1=|x|+|y|,\quad\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\quad\text{et}\quad\|(x,y)\|_\infty=\max(|x|,|y|)</math>.
-#Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
-#On considère l'application linéaire <math>u:(\R^2,\|\cdot\|_2)\to(\R^2,\|\cdot\|_2)</math> définie par <math>u(x,y)=(x+y,x-y)</math>. Calculer la norme d'opérateur <math>|\!|\!|u|\!|\!|</math> associée.
-#Même question en remplaçant <math>\|\cdot\|_2</math> par les deux autres normes ci-dessus.
-{{Solution|contenu=
-#[[File:Vector norms2.svg|thumb|left|Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.]]{{clr}}
-#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac12\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le2\|(x,y)\|_\infty</math>. On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_2\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math> et <math>\|(x,y)\|_2\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_2</math>.<br>Plus généralement, sur <math>\R^n</math>, on a <math>1\le r\le p\le\infty\Rightarrow\|\cdot\|_p\le\|\cdot\|_r\le n^{\frac1r-\frac1p}\|\cdot\|_p</math>, la seconde inégalité se déduisant de l'[[Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen#Application 3 : démonstration de l'inégalité de Hölder|inégalité de Hölder]].
-#<math>u</math> est une [[similitude]] directe de rapport <math>\sqrt2</math> donc <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\sqrt2</math>
-#
-#*Pour <math>\|\cdot\|_\infty</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|,|y|\le1}\max(|x+y|,|x-y|)=\max_{0\le s,t\le1}(s+t)=2</math>.
-#*Pour <math>\|\cdot\|_1</math>, <math>|\!|\!|u|\!|\!|=\max_{|x|+|y|\le1}(|x+y|+|x-y|)=\max_{0\le t\le s,\;s+t\le1}(s+t+s-t)=2</math>.
-}}
-== Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes ==
-#Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace <math>\R[X]</math> des polynômes réels :
-#*<math>P\mapsto\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|\;\mathrm dt</math> ;
-#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> ;
-#*<math>P\mapsto\|P\|_\infty=\sup\{|P(t)|\mid t\in[0,1]\}</math>.
-#Soient <math>x_0,\dots,x_n</math>, <math>n+1</math> nombres réels distincts. Montrer que pour tout <math>p\in\left[1,+\infty\right]</math>, l'application suivante est une norme sur le sous-espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes de degré au plus <math>n</math> :
-#:<math>P\mapsto\|\left(P(x_0),\dots,P(x_n)\right)\|_p</math>, où <math>\|\cdot\|_p</math> est la norme <math>\ell^p</math> sur <math>\R^{n+1}</math>.
-#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une constante <math>C_n</math> (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
-#:<math>\forall P\in\R_n[X]\quad\|P\|_\infty\le C_n\|P\|_1</math>.
-#Est-ce encore vrai sur <math>\R[X]</math> ? (On pourra considérer la suite des polynômes <math>X^n</math>.)
-{{Solution|contenu=
-#
-#*<math>\|\cdot\|_1</math> est même une norme sur l'espace des fonctions [[Intégration (mathématiques)|intégrables]] de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>, dont <math>\R[X]</math> s'identifie à un sous-espace.
-#*<math>P\mapsto|P(0)|+\|P'\|_1</math> est une semi-norme (c'est-à-dire qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si <math>|P(0)|+\|P'\|_1=0</math> alors <math>P(0)=0</math> et <math>P'=0</math> donc <math>P=P(0)=0</math>.
-#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
-#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>.
-#Sur <math>\R_n[X]</math>, toutes les normes sont équivalentes.
-#Non car <math>\|X^n\|_\infty=1</math> tandis que <math>\|X^n\|_1=\frac1{n+1}</math>.
-}}
-== Exercice 2-5 : extrema d'une fonction continue ==
+== Exercice 3-3 : Extrema d'une fonction continue ==
 Soit <math>f:\R^n\to\R</math> une application continue, admettant à l'infini une limite <math>L</math> (finie ou infinie) :
 :<math>\lim_{\|x\|\to+\infty}f(x)=L\in\left[-\infty,+\infty\right]</math>.

Version du 17 avril 2019 à 13:10

Exercice 3-1

Exercice 3-2 : Densité de GLn

Exercice 3-3 : Extrema d'une fonction continue

Exercice 3-2 : Densité de GL_n