Soit <math>A\in\operatorname M_n(\C)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\C[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\C^n</math>).
Soit <math>A\in\operatorname M_n(\Complex)</math>. Montrer que [[Réduction des endomorphismes/Exponentielle d'une matrice|son exponentielle]] est un [[Réduction des endomorphismes/Polynômes d'endomorphismes|polynôme en <math>A</math>]] ou plus généralement, que <math>f(A)\in\Complex[A]</math> pour toute [[Fonctions d'une variable complexe|fonction <math>f</math> d'une variable complexe]] développable en [[série entière]] en <math>0</math>, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la [[Espaces vectoriels normés/Limites et continuité#Continuité des applications linéaires|norme subordonnée]] de <math>A</math> (pour une norme arbitraire fixée sur <math>\Complex^n</math>).
{{Solution|contenu=Par définition, <math>f(A)</math> est une limite de polynômes en <math>A</math> (les sommes partielles de la série entière). Puisque <math>\operatorname M_n(\C)</math> est de dimension finie, le sous-espace vectoriel <math>\C[A]</math> est fermé.
{{Solution|contenu=Par définition, <math>f(A)</math> est une limite de polynômes en <math>A</math> (les sommes partielles de la série entière). Puisque <math>\operatorname M_n(\Complex)</math> est de dimension finie, le sous-espace vectoriel <math>\Complex[A]</math> est fermé.
}}
}}
== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}==
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\C</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
Soit <math>K=\R</math> ou <math>\Complex</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense.
{{Solution|contenu=
{{Solution|contenu=
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.
Soit <math>A\in\mathrm M_n(\Complex)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dimension finie Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Par définition, est une limite de polynômes en (les sommes partielles de la série entière). Puisque est de dimension finie, le sous-espace vectoriel est fermé.
Exercice 2-2 : densité de GLn
Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.
Solution
Soit . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe tel que pour tout entier , , ce qui prouve que est adhérent à .
Exercice 2-3 : quelques normes sur
Représenter graphiquement les boules unité de muni respectivement des normes
.
Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée.
Même question en remplaçant par les deux autres normes ci-dessus.
Solution
La figure montre que , avec égalités si , et que , avec égalité si . Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité). Pour la comparaison entre et , on a même trouvé les constantes optimales : . On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : et . Plus généralement, sur , on a , la seconde inégalité se déduisant de l'inégalité de Hölder.
Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace des polynômes réels :
;
;
.
Soient , nombres réels distincts. Montrer que pour tout , l'application suivante est une norme sur le sous-espace des polynômes de degré au plus :
, où est la norme sur .
Montrer que pour tout , il existe une constante (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
.
Est-ce encore vrai sur ? (On pourra considérer la suite des polynômes .)
Solution
est même une norme sur l'espace des fonctions intégrables de dans , dont s'identifie à un sous-espace.
est une semi-norme (c'est-à-dire qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si alors et donc .
est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de dans . En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si a racines distinctes alors .
Sur , toutes les normes sont équivalentes.
Non car tandis que .
Exercice 2-5 : extrema d'une fonction continue
Soit une application continue, admettant à l'infini une limite (finie ou infinie) :
.
On pose et (donc ).
Montrer que si , alors la valeur est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
En déduire que (sans cette hypothèse) admet un extremum.
En déduire également que si est finie, alors est bornée.
Soit strictement compris entre et . Puisque , on a pour tout de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel . Puisque , est aussi la borne inférieure de restreinte à la boule fermée . Puisque cette boule est compacte et que est continue, cette borne inférieure est atteinte.
Si alors a un minimum. De même, si alors a un maximum (en raisonnant sur ). Enfin, si alors est constante.
D'après la question 1, si alors . Si (supposée finie), on a aussi . Donc est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant par ) que est majorée.