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Trouver tous les polynômes <math>P\in\ |
Trouver tous les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>. |
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Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>. |
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>. |
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Soit <math>P=aX^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math> et <math>a\in\ |
Soit <math>P=aX^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math> et <math>a\in\Complex^*</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow aX^{2p}(X-1)^{2q}=a^2X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow a=1\text{ et }p=q</math>. |
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Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P(X)=(X^2-X)^n\text{ avec }n\in\N</math>. |
Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P(X)=(X^2-X)^n\text{ avec }n\in\N</math>. |
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== Exercice 1-2 == |
== Exercice 1-2 == |
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Déterminer les polynômes <math>P\in\ |
Déterminer les polynômes <math>P\in\Complex[X]</math> tels que <math>XP(X+1)=(X+4)P(X)</math>. |
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Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\ |
Puisque <math>X</math> est premier avec <math>X+4</math>, un polynôme <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=XQ</math> pour un <math>Q\in\Complex[X]</math> tel que <math>X(X+1)Q(X+1)=(X+4)XQ(X)</math>, c'est-à-dire <math>(X+1)Q(X+1)=(X+4)Q(X)</math>. |
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De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\ |
De même, <math>Q</math> est solution de l'équation précédente si et seulement si <math>Q=(X+1)R</math> pour un <math>R\in\Complex[X]</math> tel que <math>(X+1)(X+2)R(X+1)=(X+4)(X+1)R(X)</math>, c'est-à-dire <math>(X+2)R(X+1)=(X+4)R(X)</math>. |
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Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\ |
Et ainsi de suite. Finalement, <math>P</math> est solution si et seulement si <math>P=X(X+1)(X+2)(X+3)T</math> pour un <math>T\in\Complex[X]</math> tel que <math>T(X+1)=T(X)</math>. |
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Les solutions <math>P</math> sont donc les polynômes de la forme <math>aX(X+1)(X+2)(X+3)</math> avec <math>a\in\ |
Les solutions <math>P</math> sont donc les polynômes de la forme <math>aX(X+1)(X+2)(X+3)</math> avec <math>a\in\Complex</math>. |
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#<math>P</math> a une unique réelle <math>\alpha</math> ; |
#<math>P</math> a une unique réelle <math>\alpha</math> ; |
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#<math>\alpha<-1</math>. |
#<math>\alpha<-1</math>. |
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#Soient <math>\beta,\gamma\in\ |
#Soient <math>\beta,\gamma\in\Complex</math> les deux autres racines de <math>P</math>. Exprimer <math>\beta+\gamma</math> et <math>\beta\gamma</math> en fonction de <math>\alpha</math>. |
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#En déduire que <math>|\beta|=|\gamma|<1</math>. |
#En déduire que <math>|\beta|=|\gamma|<1</math>. |
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#Calculer <math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2</math>. |
#Calculer <math>\alpha^2+\beta^2+\gamma^2</math>. |
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== Exercice 1-4 == |
== Exercice 1-4 == |
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Soit <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\forall x\in\R\quad P(x)\ge0</math>. Montrer qu'il existe <math>A,B\in\R[X]</math> tels que <math>P=A^2+B^2</math>. |
Soit <math>P\in\R[X]</math> tel que <math>\forall x\in\R\quad P(x)\ge0</math>. Montrer qu'il existe <math>A,B\in\R[X]</math> tels que <math>P=A^2+B^2</math>. |
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{{Solution|titre=Indication|contenu=On pourra chercher à factoriser <math>P</math> dans <math>\Complex[X]</math> sous la forme <math>P=Q\overline Q</math>.}} |
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<math>P\in\R[X]</math> est ''a priori'' le produit dans <math>\R[X]</math> d'un polynôme <math>Q</math> scindé et d'un polynôme unitaire <math>R</math> à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors <math>R(\R)>0</math> donc (puisque <math>P(\R)\ge0</math>) <math>Q(\R)\ge0</math>. Par conséquent, toutes les racines de <math>Q</math> sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que <math>Q</math> est le carré d'un polynôme <math>S\in\R[X]</math>. <math>R</math> étant pour sa part de la forme <math>T\overline T</math> avec <math>T\in\ |
<math>P\in\R[X]</math> est ''a priori'' le produit dans <math>\R[X]</math> d'un polynôme <math>Q</math> scindé et d'un polynôme unitaire <math>R</math> à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors <math>R(\R)>0</math> donc (puisque <math>P(\R)\ge0</math>) <math>Q(\R)\ge0</math>. Par conséquent, toutes les racines de <math>Q</math> sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que <math>Q</math> est le carré d'un polynôme <math>S\in\R[X]</math>. <math>R</math> étant pour sa part de la forme <math>T\overline T</math> avec <math>T\in\Complex[X]</math>, on obtient : <math>P=Q\overline Q</math>, avec <math>Q=ST\in\Complex[X]</math>. En décomposant <math>Q</math> sous la forme <math>A+\mathrm iB</math> avec <math>A,B\in\R[X]</math>, on conclut : <math>P=A^2+B^2</math>. |
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{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}} |
{{Wikipédia|Dix-septième problème de Hilbert}} |
Version du 2 février 2019 à 15:06
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c'est-à-dire .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c'est-à-dire .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .