« Fonctions d'une variable complexe/Développement en séries entières » : différence entre les versions
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Une fonction <math>f :\ |
Une fonction <math>f :\Complex\to\Complex</math> est dite analytique en un point <math>z_0\in \Complex</math> si elle admet un développement en série entière autour de ce point : <math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}a_m(z-z_0)^m</math>. |
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Une fonction <math>f :\Omega \subset \ |
Une fonction <math>f :\Omega \subset \Complex\to\Complex</math> est dite analytique sur son domaine <math>\Omega</math>, si elle est analytique en tous les points de son domaine.}} |
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== Théorème de Taylor == |
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{{Théorème |
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Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert <math>\Omega\subset\ |
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert <math>\Omega\subset\Complex</math>. Alors, sur tout disque <math>D(z_0,R)\subset\Omega</math>, on a |
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<div style="text-align: center;"><math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}(z-z_0)^m</math>.</div> |
<div style="text-align: center;"><math>f(z)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{f^{(m)}(z_0)}{m!}(z-z_0)^m</math>.</div> |
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{{Corollaire|titre=Corollaire 1 : fonctions entières|contenu={{Wikipédia|Fonction entière}} |
{{Corollaire|titre=Corollaire 1 : fonctions entières|contenu={{Wikipédia|Fonction entière}} |
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Si <math>f</math> est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur <math>\ |
Si <math>f</math> est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur <math>\Complex</math>, alors sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini. |
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Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert '''[[Topologie générale/Connexité|connexe]]''' <math>\Omega\subset\ |
Soit <math>f</math> une fonction holomorphe sur un ouvert '''[[Topologie générale/Connexité|connexe]]''' <math>\Omega\subset\Complex</math>. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : |
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*<math>f</math> est la fonction nulle ; |
*<math>f</math> est la fonction nulle ; |
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*il existe un point <math>z_0\in\Omega</math> en lequel <math>f</math> et toutes ses dérivées sont nulles ; |
*il existe un point <math>z_0\in\Omega</math> en lequel <math>f</math> et toutes ses dérivées sont nulles ; |
Dernière version du 2 février 2019 à 14:58
Fonctions analytiques[modifier | modifier le wikicode]
Fonction analytique en un point
Une fonction est dite analytique en un point si elle admet un développement en série entière autour de ce point : .
Fonction analytique
Une fonction est dite analytique sur son domaine , si elle est analytique en tous les points de son domaine.
Théorème de Taylor[modifier | modifier le wikicode]
Nous allons généraliser la formule de Taylor aux fonctions de variable complexe.
Corollaire 1 : fonctions entières
Si est une fonction entière, c'est-à-dire holomorphe sur , alors sa série de Taylor en tout point a un rayon de convergence infini.
Corollaire 2 : unicité du prolongement analytique
Soit une fonction holomorphe sur un ouvert connexe . Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
- est la fonction nulle ;
- il existe un point en lequel et toutes ses dérivées sont nulles ;
- l'ensemble des zéros de admet un point d'accumulation .