« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions

Aller à la navigation Aller à la recherche
m
(inclure dans la preuve le cas d'une limite infinie)
et donc <math>u_{\phi(n)}\to\ell</math>.
}}
OnPar affine[[Implication leet résultatéquivalence/Contraposées|contraposition]], àce l'aidethéorème duéquivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement.
{{Corollaire|contenu=
Soit <math>(u_n)</math> une suite.<br />
*Si deux suites extraites de <math>(u_n)</math> ont deux limites différentes, alors <math>(u_n)</math> divergen'admet pas de limite.
*S'il existe une suite extraite de <math>(u_n)</math> qui n'admet pas de limite, alors <math>(u_n)</math> n'admet pas de limite.}}
{{Exemple|contenu=
diverge car <math>u_{2k}=\frac1{2k}+1\to1</math> et <math>u_{2k+1}=\frac1{2k+1}-1\to-1</math>.
}}
DémontronsVous maintenantdémontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :
{{Proposition
|contenu = SoitSoient <math>(u_n)</math> une suite, et <math>\ell \in \baroverline\R</math> une suite. Si <math>u_{2n} =\to R\cup\ell</math> et <math>u_{2n+1}-\to \ell</math>infty, alors <math>u_n+\to infty\ell}</math>.}}
 
{{Démonstration déroulante
Soit <math>(u_n)</math> tel queSi <math>u_{2n} \to \ell</math>, et <math>u_{2n+1} \to \ell</math>, etalors <math>u_n\to \epsilon>0ell</math>.<br />
|contenu =
{{CfExo|idfaculté=mathématiques|exercice=[[../Exercices/Convergence#Exercice 3|Convergence, exercice 3]]}}
Soit <math>(u_n)</math> tel que <math>u_{2n} \to \ell</math>, et <math>u_{2n+1} \to \ell</math>, et <math>\epsilon>0</math>.<br />
On a : <math>\exists N_1\in\N,\ \forall n>N_1,\ |u_{2n}-\ell|<\epsilon</math> et <math>\exists N_2\in\N,\ \forall n>N_2,\ |u_{2n+1}-\ell|<\epsilon</math> .<br />
Donc, en posant <math>N=max(2N_1,2N_2+1)</math>, on a <math>\forall n>N,\ |u_n-\ell|<\epsilon</math>. <br />
En effet, pour <math>n>N</math>, il existe <math>p\in \N</math> tel que <math>n=2p</math> ou <math>n=2p+1</math>. Et finalement, on a prouvé que : <math>u_n \to \ell</math>.
}}
 
;Remarque :
:Il est important de souligner quequ'il cene n'estsuffit pas parce que les deux sous-suites <math>(u_{2n})</math> et <math>(u_{2n+1})</math> convergent pour que la suite <math>(u_n)</math> converge (comme le montre l'exemple précédent), : il faut qu'elleelles convergeconvergent vers la même limite.
 
== Théorème de Bolzano-Weierstrass ==
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de <math>\R</math> est bornée et atteint ses bornes.
13 027

modifications

Menu de navigation