Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites

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Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Définitions et premières propriétés

Suites extraites

Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite dans la définition suivante :

Définition

On dit que $(v_{p})$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_{n})$ s'il existe une application $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ strictement croissante, appelée extractrice, telle que $\forall p\in \mathbb {N} ,\ v_{p}=u_{\phi (p)}$.

Remarques

1. On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice $\phi$, on a : $\phi (n)\geq n$. Ce qui prouve que $\phi (n)\to \infty$.
2. Si $\phi ,\ \psi$ sont deux extractrices, alors $\phi \circ \phi$ est également une extractrice.
3. L'exemple fondamental est donnée par les deux suites $(u_{2n}),\ (u_{2n+1})$, qui sont les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.

Limites de suites extraites

Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.

Début d’un théorème

Théorème

Si une suite admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite $\ell$.

Fin du théorème

Démonstration

Soient $(u_{n})$ telle que $u_{n}\to \ell$, $\phi$ une extractrice, et $A<\ell$.

D'après la définition de la limite, on a : $\exists N_{0}\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N_{0}\quad A<u_{n}$.

Par stricte croissance de $\phi$, et par la première remarque ci-dessus, on a : $\forall n\geq N\quad \phi (n)\geq \phi (N)\geq N$, ce qui implique $A<u_{\phi (n)}$.

On démontre de même, pour tout $B>\ell$ :

$\exists N_{1}\in \mathbb {N} \quad \forall n\geq N_{1}\quad B>u_{\phi (n)}$

et donc $u_{\phi (n)}\to \ell$.

 

Par contraposition, ce théorème équivaut au corollaire suivant qui va nous permettre, lorsqu'une suite diverge, de le prouver facilement.

Corollaire

Soit $(u_{n})$ une suite.

• Si deux suites extraites de $(u_{n})$ ont deux limites différentes, alors $(u_{n})$ n'admet pas de limite.
• S'il existe une suite extraite de $(u_{n})$ qui n'admet pas de limite, alors $(u_{n})$ n'admet pas de limite.

Début de l'exemple

Exemple

La suite $(u_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ définie par

$u_{n}={\frac {1}{n}}+(-1)^{n}$

diverge car $u_{2k}={\frac {1}{2k}}+1\to 1$ et $u_{2k+1}={\frac {1}{2k+1}}-1\to -1$.

Fin de l'exemple

Vous démontrerez en exercice un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :

Proposition

Soient $(u_{n})$ une suite, et $\ell \in {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$.

Si $u_{2n}\to \ell$ et $u_{2n+1}\to \ell$, alors $u_{n}\to \ell$.

Faites ces exercices : Convergence, exercice 3.

Remarque

Il est important de souligner qu'il ne suffit pas que les deux sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent pour que la suite $(u_{n})$ converge (comme le montre l'exemple précédent) : il faut qu'elles convergent vers la même limite.

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de $\mathbb {R}$ est bornée et atteint ses bornes.

Début d’un théorème

Théorème de Bolzano-Weierstrass

De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $(u_{n})$ une suite réelle bornée.
L'idée de la démonstration est d'utiliser une méthode de dichotomie pour construire deux suites $(a_{n}),\ (b_{n})$ qui vérifieront le théorème des fermés emboîtés, et une extractrice $\phi$ telle que $\forall n\in \mathbb {N} ,\ u_{\phi (n)}\in [a_{n};b_{n}]$.

Comme la suite $(u_{n})$ est bornée, il existe $a_{0},\ b_{0}\in \mathbb {R}$ tels que $\forall n\in \mathbb {N} ,\ a_{0}\leq u_{n}\leq b_{0}$, et l'ensemble $\{k\in \mathbb {N} ,u_{k}\in [a_{0};b_{0}]\}$ est donc infini.
Supposons que, pour $n\in \mathbb {N}$, on a réussi à construire $a_{n},\ b_{n}\in \mathbb {R}$ vérifiant : $a_{n}\leq b_{n}$, l'ensemble $\{k\in \mathbb {N} ,u_{k}\in [a_{n};b_{n}]\}$ est infini, et $a_{n}-b_{n}={\frac {1}{2^{n}}}(b_{0}-a_{0})$.
Posons $c_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$. On a alors forcément l'un des deux ensembles $\{k\in \mathbb {N} ,u_{k}\in [a_{n};c_{n}]\},\ \{k\in \mathbb {N} ,u_{k}\in [c_{n};b_{n}]\}$ qui est infini.
Il existe donc $a_{n+1},\ b_{n+1}\in \mathbb {R}$ vérifiant : $a_{n+1}\leq b_{n+1}$, l'ensemble $\{k\in \mathbb {N} ,u_{k}\in [a_{n+1};b_{n+1}]\}$ est infini, et $a_{n+1}-b_{n+1}={\frac {1}{2^{n+1}}}(b_{0}-a_{0})$. (Prendre $a_{n+1}=a_{n},\ b_{n+1}=c_{n}$ si le premier ensemble ci-dessus est infini, et réciproquement).

Les deux suites $(a_{n}),\ (b_{n})$ que nous cherchions sont donc construites ainsi par récurrence. Il reste à définir l'extractrice $\phi$. Pour cela, on pose : $\phi (0)=0$, et pour tout $n\in \mathbb {N}$, supposons $\phi (n)$ construit, on sait qu'il existe $k\in \mathbb {N}$ vérifiant $k>\phi (n)$ et $u_{k}\in [a_{n+1};b_{n+1}]$, (on prends $k=min\{k>\phi (n),\ u_{k}\in [a_{n+1};b_{n+1}]\}$ qui est bien un ensemble minoré non vide), et on pose finalement $\phi (n+1)=k$. Et, $/phi$ est alors construite par récurrence.

On a alors, comme voulu, les deux suites $(a_{n}),\ (b_{n})$ qui vérifient le théorème des segments emboîtés, et elle convergent donc toutes les deux vers une limite $\ell$. Or, d'après l'inégalité $a_{n}\leq u_{\phi (n)}\leq b_{n}$ (vraie par construction) et le théorème des gendarmes, on a bien $u_{\phi (n)}\to \ell$.
On a donc bien trouvé une sous suite extraite de la suite réelle bornée $(u_{n})$.