« Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites » : différence entre les versions
Modification des liens suite à un déplacement de chapitre |
m màj n° |
||
Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
{{Chapitre |
{{Chapitre |
||
| idfaculté = mathématiques |
| idfaculté = mathématiques |
||
| numéro = |
| numéro = 4 |
||
| précédent = [[../Suites adjacentes/]] |
| précédent = [[../Suites adjacentes/]] |
||
| suivant = [[../Relations de comparaison/]] |
| suivant = [[../Relations de comparaison/]] |
Version du 6 janvier 2019 à 16:03
Dans cette leçon, nous allons étudier la notion de suite extraite qui correspond à l'idée intuitive de ne prendre que certains termes au sein d'une suite. L'exemple le plus marquant, pour illustrer cette idée, est de prendre tous les termes de rang pair (ou impair) d'une suite. Cette notion nous permet d'obtenir des informations sur la limite d'une suite, et nous permet d'énoncer l'un des premiers théorèmes fondamentaux de topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Définitions et premières propriétés
Suites extraites
Formalisons tout d'abord l'idée de ne prendre que certains termes de la suite dans la définition suivante :
On dit que est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite s'il existe une application strictement croissante, appelée extractrice, telle que .
- Remarques
- On montre par une récurrence directe que pour toute extractrice , on a : . Ce qui prouve que .
- Si sont deux extractrices, alors est également une extractrice.
- L'exemple fondamentale est donnée par les deux suites qui sont donc les suites extraites des termes de rang pair, et de rang impair respectivement.
Limites de suites extraites
Le théorème suivant est le point central de cette partie, et va nous permettre d'obtenir des informations sur la limite d'une suite à partir de ses suites extraites. En particulier, il nous donne un candidat potentiel pour la limite d'une suite à partir de la limite d’une de ses suites extraites.
Si une suite admet une limite (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite .
Soit tel que , une extractrice, et .
Par définition de la convergence, on a : .
Par stricte croissance de , et par la première remarque ci-dessus, on a : .
Ce qui implique et donc .
On affine le résultat à l'aide du corollaire suivant qui va nous permettre de dire facilement si une suite diverge.
Soit une suite.
- Si deux suites extraites de ont deux limites différentes, alors diverge.
- S'il existe une suite extraite de qui n'admet pas de limite, alors n'admet pas de limite.
Démontrons maintenant un résultat qui paraît évident mais qui est très souvent utile dans la pratique :
Soit tel que , et , et .
On a : et .
Donc, en posant , on a .
En effet, pour , il existe tel que ou . Et finalement, on a prouvé que : .
- Remarque
- Il est important de souligner que ce n'est pas parce que les suites et convergent que la suite converge (comme le montre l'exemple précédent), il faut qu'elle converge vers la même limite.
Théorème de Bolzano-Weierstrass
Nous pouvons maintenant nous attaquer à l'un des théorèmes fondamentaux de la topologie : le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce dernier permet, notamment, de démontrer un théorème bien connu de l'analyse qui nous dit que toute fonction continue sur un segment de est bornée et atteint ses bornes.
De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous suite convergente.
Soit une suite réelle bornée.
L'idée de la démonstration est d'utiliser une méthode de dichotomie pour construire deux suites qui vérifieront le théorème des fermés emboîtés, et une extractrice telle que .
Comme la suite est bornée, il existe tels que , et l'ensemble est donc infini.
Supposons que, pour , on a réussi à construire vérifiant : , l'ensemble est infini, et .
Posons . On a alors forcément l'un des deux ensembles qui est infini.
Il existe donc vérifiant : , l'ensemble est infini, et . (Prendre si le premier ensemble ci-dessus est infini, et réciproquement).
Les deux suites que nous cherchions sont donc construites ainsi par récurrence. Il reste à définir l'extractrice . Pour cela, on pose : , et pour tout , supposons construit, on sait qu'il existe vérifiant et , (on prends qui est bien un ensemble minoré non vide), et on pose finalement . Et, est alors construite par récurrence.
On a alors, comme voulu, les deux suites qui vérifient le théorème des segments emboîtés, et elle convergent donc toutes les deux vers une limite . Or, d'après l'inégalité (vraie par construction) et le théorème des gendarmes, on a bien .
On a donc bien trouvé une sous suite extraite de la suite réelle bornée .