« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Le reste de la division euclidienne de <math>P_n</math> par <math>X^2+1</math> est donc : |
Le reste de la division euclidienne de <math>P_n</math> par <math>X^2+1</math> est donc : |
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:<math>(c-a)X+d-b=\sin(n\alpha)X+\cos(n\alpha)</math>. |
:<math>(c-a)X+d-b=\sin(n\alpha)X+\cos(n\alpha)</math>. |
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== Exercice 1-6 == |
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Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, le polynôme <math>P_n=(X+1)^{6n+1}-X^{6n+1}-1</math> est divisible par <math>(X^2+X+1)^2</math>. |
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{{Solution|contenu= |
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Il suffit de vérifier que <math>\mathrm j</math> (donc aussi <math>-\mathrm j</math>) est racine double de <math>P_n</math>. |
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:<math>P_n(\mathrm j)=\left(-\mathrm j^2\right)^{6n+1}-\mathrm j^{6n+1}-1=-\mathrm j^2-\mathrm j-1=0</math>. |
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:<math>P'_n(\mathrm j)=(6n+1)\left(\left(-\mathrm j^2\right)^{6n}-\mathrm j^{6n}\right)=(6n+1)(1-1)=0</math>. |
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Version du 25 décembre 2018 à 09:23
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
Déterminer les polynômes tels que .
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-3
Soit . Montrer que :
- a une unique réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .
Exercice 1-4
Soit tel que . Montrer qu'il existe tels que .
On pourra chercher à factoriser dans sous la forme .
est a priori le produit dans d'un polynôme scindé et d'un polynôme unitaire à racines complexes conjuguées deux à deux. On a alors donc (puisque ) . Par conséquent, toutes les racines de sont d'ordre pair et son coefficient dominant est positif, si bien que est le carré d'un polynôme . étant pour sa part de la forme avec , on obtient : , avec . En décomposant sous la forme avec , on conclut : .
Exercice 1-5
Soient .
Déterminer les restes des divisions euclidiennes de par et par .
Le reste de la division euclidienne de par est avec (puisque et sont racines doubles de ) :
- ;
- ;
- ;
- .
En résolvant le système, on en déduit :
- .
Le reste de la division euclidienne de par est donc :
- .
Exercice 1-6
Montrer que pour tout , le polynôme est divisible par .
Il suffit de vérifier que (donc aussi ) est racine double de .
- .
- .