Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison

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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. Les notions abordées dans cette leçon pour les suites (équivalence, domination et négligeabilité) sont un cas particulier des mêmes notions pour les fonctions.

Suites équivalentes

Premiers pas

Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand $n$ devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :

Définition

On dit que deux suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ sont équivalentes, ce que l'on note $u_{n}{\underset {n\to \infty }{\sim }}v_{n}$, ou plus simplement $u_{n}\sim v_{n}$, lorsqu'il existe une suite $(w_{n})$ qui converge vers $1$ et telle que $u_{n}=v_{n}w_{n}$ à partir d'un certain rang.

Remarques

• Pour des suites équivalentes, la notation $u_{n}\sim v_{n}$ est non ambiguë (de même que la notation $u_{n}\to \ell$ pour la limite d'une suite), contrairement à la notation $f\sim g$ pour des fonctions.
• D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites $(u_{n})$ nulles à partir d'un certain rang. De plus, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).

Proposition

Si $(v_{n})$ ne s'annule pas pour $n$ assez grand alors :

$u_{n}\sim v_{n}\Longleftrightarrow {\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to 1$.

Remarque

On en déduit que si $u_{n}\sim v_{n}$ et si $(v_{n})$ est non nulle à partir d'un certain rang alors, pour $n$ assez grand, $u_{n}$ est non nul et du même signe que $v_{n}$.

Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que ${\frac {u_{n}}{v_{n}}}\to 1$.

Début de l'exemple

Exemple

• Soit $\ell$ un réel non nul. Une suite $(u_{n})$ converge vers $\ell$ si et seulement si $u_{n}\sim \ell$.
• Soit $(u_{n})$ une suite définie par $u_{n}=P(n)$ où $P$ est un polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant $\lambda$. Alors, $u_{n}\sim \lambda x^{n}$.
• Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{n}=\sin {\frac {1}{n^{2}}}$. Alors, $u_{n}\sim {\frac {1}{n^{2}}}$ .

Fin de l'exemple

Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.

Proposition

La relation $u_{n}\sim v_{n}$ est une relation d'équivalence. Pour rappel, on a alors, pour toutes suites $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ :

• $u_{n}\sim u_{n}$ (réflexivité) ;
• si $u_{n}\sim v_{n}$ alors $v_{n}\sim u_{n}$ (symétrie) ;
• si $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}\sim w_{n}$ alors $u_{n}\sim w_{n}$ (transitivité).

Démonstration

La démonstration est assez directe mais rédigeons-la afin de nous habituer aux raisonnements. Soit $(u_{n})$, $(v_{n})$ et $(w_{n})$ trois suites.

• Pour la réflexivité :

  Posons $\forall n\in \mathbb {N} \quad \alpha _{n}=1$. On a ainsi $\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=\alpha _{n}u_{n}$, ce qui par définition donne $u_{n}\sim u_{n}$.

• Pour la symétrie :

  Supposons que $u_{n}\sim v_{n}$.

  Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$. Comme $\alpha _{n}$ converge vers $1$, il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout $n>N,\quad \alpha _{n}>0$.

  On a ainsi $\forall n>\max(N_{0},N)\quad v_{n}={\frac {1}{\alpha _{n}}}u_{n}$ et ${\frac {1}{\alpha _{n}}}\to 1$, et donc $v_{n}\sim u_{n}$.

• Pour la transitivité :

  Supposons que $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}\sim w_{n}$.

  Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$, et une suite $(\beta _{n})$ telle que $\beta _{n}\to 1$ et $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{1}\quad v_{n}=\beta _{n}w_{n}$.

  Et finalement, $\forall n>\max(N_{0},N_{1})\quad u_{n}=\alpha _{n}\beta _{n}w_{n}$ et $\alpha _{n}\beta _{n}\to 1$, d'où $u_{n}\sim w_{n}$.

 

Opérations sur les suites équivalentes

L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent :

Proposition : Opérations sur les équivalents

Soient $(u_{n}),(v_{n}),(w_{n})$ trois suites numériques, et $\lambda ,\alpha \in \mathbb {R}$.

• Si $u_{n}\sim v_{n}$ et $u'_{n}\sim v'_{n}$ alors $u_{n}u'_{n}\sim v_{n}v'n$.

  En particulier, si $u_{n}\sim v_{n}$ alors $\lambda u_{n}\sim \lambda v_{n}$ et $u_{n}w_{n}\sim v_{n}w_{n}$.

• Si $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}\neq 0$ pour $n$ assez grand, alors ${\frac {1}{u_{n}}}\sim {\frac {1}{v_{n}}}$.
• Si $u_{n}\sim v_{n}$ et $v_{n}>0$ pour $n$ assez grand, alors $u_{n}^{\alpha }\sim v_{n}^{\alpha }$.

Démonstration

On ne démontre que la première propriété, les autres se démontrant de façon similaire.

Supposons que $u_{n}\sim u'_{n}$ et $v_{n}\sim v'_{n}$.

Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}u'_{n}$, et une suite $(\beta _{n})$ telle que $\beta _{n}\to 1$ et $\exists N_{1}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{1}\quad v_{n}=\beta _{n}v'_{n}$.

Alors, on a $\forall n>\max(N_{0},N_{1})\quad u_{n}u'_{n}=\alpha _{n}\beta _{n}v_{n}v'_{n}$ et $\alpha _{n}\beta _{n}\to 1$.

 

Début de l'exemple

Exemple

Déterminer un équivalent de $u_{n}={\sqrt {1+{\sqrt {n}}}}$.

On a $u_{n}^{2}=1+{\sqrt {n}}\sim {\sqrt {n}}$ donc $u_{n}=(u_{n}^{2})^{\frac {1}{2}}\sim {\sqrt {n}}^{\frac {1}{2}}=n^{\frac {1}{4}}$.

Fin de l'exemple

Remarques

De manière générale, il est « interdit » de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si $u_{n}\sim v_{n}$ et $u'_{n}\sim v'_{n}$, on peut avoir $u_{n}+u'_{n}\nsim v_{n}+v'_{n}$, et pour une fonction $f$, $f(u_{n})\nsim f(v_{n})$.

Par exemple, on a $1+{\frac {1}{n}}\sim 1$ et $1+(-1)=0$ mais $1+{\frac {1}{n}}+(-1)={\frac {1}{n}}\nsim 0$.

Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour $f=\ln$, par $\operatorname {e} ^{1/n}\sim 1$ et $\ln 1=0$ mais $\ln \left(\operatorname {e} ^{1/n}\right)={\frac {1}{n}}\nsim 0$.

Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence. Tous se déduisent d'équivalents usuels en 0 de fonctions, en les composant à droite par la suite.

Équivalents de référence

Soit $(u_{n})$ une suite numérique telle que $u_{n}\to 0$, alors :

• $\ln(1+u_{n})\sim u_{n}$ ;
• $\exp(u_{n})-1\sim u_{n}$ ;
• $\sin u_{n}\sim u_{n}$ et $\tan u_{n}\sim u_{n}$ ;
• pour tout $\alpha \in \mathbb {R}$ : $(1+u_{n})^{\alpha }-1\sim \alpha u_{n}$.

  En particulier : ${\sqrt {1+u_{n}}}-1\sim {\frac {u_{n}}{2}}$.

Début de l'exemple

Exemple

Déterminer un équivalent de $v_{n}=\ln {\frac {n^{3}+n+3}{n^{3}-n^{2}}}$.

On a $v_{n}=\ln(1+u_{n})$ avec

$u_{n}={\frac {n^{3}+n+3}{n^{3}-n^{2}}}-1={\frac {n^{2}+n+3}{n^{3}-n^{2}}}\sim {\frac {n^{2}}{n^{3}}}={\frac {1}{n}}\to 0$.

D'où, $v_{n}\sim u_{n}\sim {\frac {1}{n}}$.

Fin de l'exemple

Applications

Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur les propriétés suivantes :

Proposition

Soient $(u_{n}),(v_{n})$ deux suites telles que $u_{n}\sim v_{n}$. Alors :

• Si $(v_{n})$ admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors $(u_{n})$ admet la même limite.
• Si $(v_{n})$ est bornée alors $(u_{n})$ aussi.

Démonstration

Supposons que $u_{n}\sim v_{n}$. Alors, il existe une suite $(\alpha _{n})$ telle que $\alpha _{n}\to 1$ et $\exists N_{0}\in \mathbb {N}$ tel que $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$. Comme $\alpha _{n}\to 1$, il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout $n>N,\quad 0<\alpha _{n}<2$.

• Si $v_{n}\to \ell$ alors, par produit des limites, $\alpha _{n}v_{n}\to \ell$ donc (puisque $\forall n>N_{0}\quad u_{n}=\alpha _{n}v_{n}$) $u_{n}\to \ell$.
• Si $(v_{n})$ est bornée alors $(\alpha _{n}v_{n})$ également (comme produit de deux suites bornées) donc $(u_{n})$ aussi.

 

Théorème de comparaison avec une suite géométrique

Début d’un théorème

Théorème

Soient $(u_{n})$ une suite strictement positive et $k$ un réel.

• Si pour $n\geq n_{0}$, ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq k$ et si $k<1$, alors $\lim u_{n}=0$.
• Si pour $n\geq n_{0}$, ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq k$ et si $k>1$, alors $\lim u_{n}=+\infty$.

Fin du théorème