« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
Ligne 92 : Ligne 92 :
:De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si <math>u_n \sim v_n</math> et <math>u'_n \sim v'_n</math>, on peut avoir <math>u_n+u'_n \nsim v_n+v'_n</math>, et pour une fonction <math>f</math>, <math>f(u_n)\nsim f(v_n)</math>.
:De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si <math>u_n \sim v_n</math> et <math>u'_n \sim v'_n</math>, on peut avoir <math>u_n+u'_n \nsim v_n+v'_n</math>, et pour une fonction <math>f</math>, <math>f(u_n)\nsim f(v_n)</math>.
:Par exemple, on a <math>1+\frac1n\sim 1</math> et <math>1+(-1)=0</math> mais <math>1+\frac1n+(-1)=\frac1n\nsim 0</math>.
:Par exemple, on a <math>1+\frac1n\sim 1</math> et <math>1+(-1)=0</math> mais <math>1+\frac1n+(-1)=\frac1n\nsim 0</math>.
: Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour <math>f=\ln</math>, par <math>\frac1n+1\sim1</math> mais <math>\ln\left(\frac1n+1\right)\nsim \ln1=0</math>.
: Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour <math>f=\ln</math>, par <math>\operatorname e^{1/n}\sim1</math> et <math>\ln1=0</math> mais <math>\ln\left(\operatorname e^{1/n}\right)=\frac1n\nsim0</math>.


Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence.
Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence.

Version du 9 décembre 2018 à 21:14

Début de la boite de navigation du chapitre
Relations de comparaison
Icône de la faculté
Chapitre no 4
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Suites extraites
Chap. suiv. :Suites adjacentes
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Approfondissement sur les suites numériques : Relations de comparaison
Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. Notons que les notions abordées dans cette leçon (équivalence, domination, et suites négligeables) sont similaires à celles sur les fonctions, aussi le lecteur peut avoir intérêt à lire ce cours en parallèle à celui sur les fonctions pour voir les subtilités de ces notions.

Suites équivalentes

Premiers pas

Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :


Remarques
  • Pour des suites équivalentes, la notation est non ambiguë (de même que la notation pour la limite d'une suite), contrairement à la notation pour des fonctions.
  • D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites nulles à partir d'un certain rang. De plus, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
Remarque
Si et si est non nulle à partir d'un certain rang alors est donc, elle aussi, non nulle à partir d'un certain rang.

Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.

Opérations sur les suites équivalentes

L'objectif est ici de voir les propriétés qui vont nous servir pour le calcul des équivalents. En premier lieu, voici les opérations qu'il est possible de réaliser sur les suites équivalentes, ce qui permettra de simplifier le calcul effectif d'équivalent :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Remarques
De manière générale, il est interdit de réaliser des sommes d'équivalents ou de composer une relation d'équivalence par une fonction. De manière formelle, si et , on peut avoir , et pour une fonction , .
Par exemple, on a et mais .
Et pour la composition, un contre-exemple est donné, pour , par et mais .

Voyons maintenant des équivalents qui serviront de référence.

Tous ces exemples se déduisent des équivalents en 0 des fonctions que l'on applique à la suite. Par exemple : la fonction est équivalente en 0 à .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Applications

Ici, nous allons voir quelques applications du calcul d'équivalent. Ces applications vont reposer majoritairement sur les propriétés suivantes :

Théorème de comparaison avec une suite géométrique

Début d’un théorème
Fin du théorème